Question

Her $x\in[-1,+1]$ için $\arcsin x+\arccos x=\frac\pi2$ olduğunu gösteriniz.

Comments

<p> Birden çok yolu var. Ama cevabın negatif sayılar için de anlamlı olmalı.
</p>

Answer 1

Bilindiği üzere  $$f(x)=\cos x$$ kuralı ile verilen $$f:[0,\pi]\to [-1,1]$$ fonksiyonunun tersi $$f^{-1}(x)=\arccos x$$ kuralı ile verilen 

$$f^{-1}:[-1,1]\to [0,\pi]$$ fonksiyonudur ve

$$g(x)=\sin x$$  kuralı ile verilen $$g:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to [-1,1]$$ fonksiyonunun tersi $$g^{-1}(x)=\arcsin x$$ kuralı ile verilen 

$$g^{-1}:[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$ fonksiyonudur. Bu bilgiler ışığı altında şunları yazabiliriz:

$$x\in [-1,1]\Rightarrow -\frac{\pi}{2}\leq \arcsin x\leq \frac{\pi}{2}\Rightarrow 0\leq \frac{\pi}{2}-\arcsin x\leq \pi$$

$$\Rightarrow$$

$$\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin x\right)\in [0,\pi]$$

O halde 

$$x=\sin(\arcsin x)\Rightarrow x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin x\right)\Rightarrow \arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x$$

$$\Rightarrow$$

$$\arccos x+\arcsin x=\frac{\pi}{2}$$

olacaktır.

Comments

Katkınız için çok teşekkürler hocam.

---

Ne demek sayın hocam.

Answer 2

  Bir dik kenar uzunluğu $x$ birim, hipotenüs uzunluğu $1$ birim olan bir dik üçgenin iki dar açısının ölçüleri a,b olsun.$a+b=\frac{\pi}{2}$ dır. Eğer $sina=x$ ise $cosb=x$ dir. Buradan $arcsinx=a,\quad arccosx=b\Rightarrow arcsinx+arccosx=a+b=\frac{\pi}{2}$ olacaktır.

Comments

$x<0$ ise ne yapacağız?

---

Sayın hocam, $x<0$ durumu da dahil olmak üzere, en güzel çözümü sizden bekliyoruz.

---

Bence siz de paylasabilirsiniz, Metok hocam.

"$\sin(-x)=-\sin x$ ve $\cos (-x)=\cos x$" gibi $arc$ kurallari ile ispat modife edilebilir.

---

Bence de Sercan ın dediği gibi $x<0$ için, önceki yapılanlardan yararlanarak, eşitliği gösterip, ispatınızı tamamlayabilirsiniz.

---

nelere vesile oluyorum :D

---

$x<0$ için de eşitliğin ispatı:

$-1\leq x<0$ olsun. $0<-x\leq1$ olur. Önceki ispattan dolayı:

$\arcsin(-x)+\arccos(-x)=\frac\pi2$ olur.

$\arcsin(-x)=-\arcsin x$ ve $\arccos(-x)=\pi-\arccos x$ olur.

(örneğin ikincisi için: $0\leq\pi-\arccos x\leq\pi$ ve $\cos(\pi-\arccos x)=-\cos (\arccos x)=-x$ den)

(Bu eşitlikler, ters sinüs ve ters kosinüsün standart tanımındaki gibi $\arcsin:[-1,+1]\to[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ ve $\arccos:[-1,+1]\to[0,\pi]$ iken doğrudur). Bunlar yukarıdaki eşitlikte yerine konursa ($-1\leq x<0$ için):

$-\arcsin x+\pi-\arccos x=\frac\pi2$ olur. 

Bu eşitlik düzenlendiğinde ($-1\leq x<0$ iken de):

$\arcsin x+\arccos x=\frac\pi2$ elde edilir.

Not: Ayrıca (Her $x\in[-1,+1]$ için) $\arccos(-x)=\pi-\arccos x$ olduğunu da göstermiş olduk)

---

Hocam katkınız için çok teşekkürler.