Sabit olmayan bir polinomun mod $p$ kökleri

Question

$f$ katsayıları $\mathbb{Z}$'de olan ve sabit olmayan bir polinom olmak üzere, gösteriniz ki sonsuz sayıdaki $p$ asalı için, $f$ polinomunun mod $p$'de bir kökü vardır.

Comments

güzel soru cevabını merak ediyorum.

---

Bir çözüm eklendi.

Answer 1

$f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_kx^k$ diyelim. 

Durum 1: $f(0)=0$: Bu durumda her $p$ asalı için $f$'nin mod $p$'de bir çözümü vardır tabii ki.

Durum 2: $f(0)=1$: Varsayıma göre $f$ sabit olmadığı için, öyle bir $n$var ki $$|f(n!)|>1$$ olur. $p_1|f(n!)$ olacak şekilde bir asal alalım. Bu durumda $f(n!)\equiv 0(\text{mod})\ p_1$.

İddia: $p_1>n$

İspat: Velev ki $p_1\leq n$. O halde $p_1|n!$, o halde $f(n!)\equiv 1(\text{mod}\ p_1)$ ($a_0=1$ durumundayız), çelişki.

Aynı yöntemle $f$ sabit olmadığı için $$|f(cp_1!)|>1$$ olacak şekilde bir $c$ var. $p_2|f(cp_1!)$ olacak şekilde bir $p_2$ asalı alalım. Bu durumda $f$'nin mod $p_2$'de bir kökü vardır ve $p_2>p_1$ olur. Böylece devam... 

Durum 3:$f(0)\neq 0$: Şu fonksiyonu düşünelim: $$g(x)=\frac{f(xf(0))}{f(0)}.$$ Görüldüğü üzere $g(0)=1$. Bu durumda durum 2 uygulanabilir, yani $g$'nin sonsuz tane $p$ asalı için mod $p$'de çözümü vardır. O halde $f(xf(0))$ fonksiyonunun sonsuz tane $p$ asalı için mod $p$'de çözümü vardır. Sonuç olarak $f$'nin sonsuz tane $p$ asalı için mod $p$'de çözümü vardır.

---

Number Field, Marcus, 3. Kısım, 30. Soru, a) Şıkkı