Sabit olmayan bir $p$ polinomu için $\sin(p(n))$ limiti var olabilir mi?

Question

Sabit olmayan bir gerçel rasyonel katsayılı $p$ polinomu için $\sin(p(n))$ (ya da $\cos(p(n))$) limiti var olabilir mi?
(Gerçel katsıyı için $2\pi n$ örneğini verebiliriz.)

Lütfen mümkün olduğunca temel yöntemler kullanın. Bir Analiz I öğrencisi gibi.

Genelde $\sin n$ için bile gösterilmekten kaçınılan bir soru. Bunun için basit bir yöntem var. $\sin(n+1)$ ile ilgilenerek kolay bir yol mevcut. En basitinden $\sin n^2$ ya da $\sin n^3$ gibi ifadeleri düşünebiliriz.

Bu soruyu sorma sebebim buna benzer ifadeleri Analiz soruları içerisinde görmem. Örneğin $\sum(e/2)^n\sin(n^2)$ gibi. Limitin yok olduğunu (ya da daha hafifinden sıfır olmadığını) kabul edersek ıraksak olduğunu çok rahat gösterebiliriz.

Genel soracak olursak:
Sonsuza giden bir fonksiyon sinüs içerisinde nasıl davranır?