D değişmeli olmayan bir bölüm halkası olsun. Örneğin D yi quaterniyonlar halkası olarak alabiliriz.
R=D×D değişmeli olmayan bir hakadır ve bu halkanın yegane maksimal idealleri M1=D×{0} ve M2={0}×D dir.
i=1,2 için D×D/Mi≅D olduğu dikkate alınacak olursa Mi bir maksimal idealdir.
M bir maksimal ideal olsun. M≠M1 olduğunu varsayalım. Bu durumda e=(1,0)∉M dir. Aksi halde
M1=D×{0}=R⋅(1,0)⊂M olur. Bu ise, M maximal olduğundan M1=M olması demektir. O halde M+⟨e⟩=R dir. Bu nedenle bir takım x,y,xj,yj,rj,sj∈D, j=1,...,m için (x,y)∈M ve
(x,y)+m∑j=1(xj,yj)(1,0)(rj,sj)=(1,1)
olur. O halde y=1 ve dolayısıyla (x,1)∈M dir. x≠0 olamaz.
Aksi halde (1,1)=(x−1,1)(x,1)∈M ve dolayısıyla M=R olur. Bu ise M nin
maksimal ideal olması ile çelişir. O halde (0,1)∈M dir. Böylece M2={0}×D=R⋅(0,1)⊂M ve dolayısıyla M2=M elde edilir.