Processing math: 44%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
834 kez görüntülendi

Hayır.

f:N+I bir (birebir ve örten) eşleme, n=1af(n)=S ama iIaiS olacak şeklide bir (ai) dizisi bulun.

Riemann ın koşullu yakınsak (conditionally convergent) serilerle ilgili Teoremi ile bulunabilir.

Lisans Matematik kategorisinde (6.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 834 kez görüntülendi

Bu yaptıklarımın (ve daha fazlasının) Ali Nesin in 

http://nesinkoyleri.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_1.pdf

de bulabileceğiniz ANALİZ I ders kitabında (bölüm 23) olduğunu yeni farkettim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Eşitliğin sağlanmadığı (aslında n=1af(n) yakınsak olan ama iIai yakınsak olmayan) bir örnek vereceğiz.

Bu örnekte I=N+ ve nN+ için f(n)=n dir.

İki yakınsaklık tanımını ayırt etmek için n=1an ve iN+ai kullanacağız.

n=1(1)nn (İşaret Değişimli Harmonik seri) i düşünelim. Bu serinin yakınsak  olduğu iyi bilinmektedir (Toplamı da ln2 dir). 

Diğer taraftan (tüm koşullu yakınsak serilerde olduğu gibi) pozitif terimlerinden oluşan seri n=112n ıraksaktır.

iIai=S (SR) olduğunu varsayıp, ε=1 alalım. Tanımımızdan, 

Her BA(BI) için |iBaiS|<1 olacak şekilde sonlu bir AI var olacaktır.

K=max olsun. \sum_{n=1}^\infty\frac1{2n} ıraksak olduğundan (burası biraz açıklama gerektiriyor), 

\frac1{2K}+\frac1{2(K+1)}+\cdots+\frac1{2(K+M)}\geq2 olacak şekilde bir M\in\mathbb{N}^+ vardır.

B=A\cup\{2K,2(K+1),\ldots,2(K+M)\}  olsun (bu kümeler ayrıktır), B sonludur ve A\subsetneqq B olur. Kabulümüzden

\displaystyle\left| \sum_{i\in B}a_i-S\right| <1 dir. Diğer tarafdan

\left| \sum_{i\in B}a_i-S\right| =\left|\sum_{i\in A}a_i+\frac{(-1)^{2K}}{2K}+\frac{(-1)^{2(K+1)}}{2(K+1)}+\cdots+\frac{(-1)^{2(K+M)}}{2(K+M)}-S\right| \geq\left| \sum_{n=K}^{K+M}\frac{1}{2n}\right| -\left| \sum_{i\in A}a_i-S\right| >2-1=1 olur. Çelişki. 

Biraz dikkatli bakılırsa, aslında HER koşullu yakınsak \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n serisi için \displaystyle\sum_{i\in \mathbb{N}^+}a_i in ıraksak olduğunu gösterdiğimiz farkedilebilir.

(6.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Hocam f(n)=n olacak demişsiniz. Buradaki örnek sanki f(n)=2n ve diğer sorunun yanıtı için ters örnek.

Uyarı için teşekkürler. Bir yerde yazım hatası yapmışım. 

Düzelttim, bir kaç yeri de daha iyi yazmaya çalıştım. 

Ama baştaki seri \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n ve yakınsak.

Açıklama gerektiren kısıma Açıklama:

 \sum_{n=1}^\infty\frac1{2n} ıraksak olduğu, kısmi toplamlar dizisinin sınırsız olduğu gösterilerek ispatlanır. Aynı nedenle:

\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2K-2}+\frac1{2K}+\frac1{2(K+1)}+\cdots+\frac1{2(K+M)}\geq\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2K-2}+2 olacak şekilde bir M\in\mathbb{N}^+ vardır. Burada, \frac11+\frac12+\cdots+\frac1{2K-2} ler kısaltılırsa istenen eşitsizlik elde edilir.

20,330 soru
21,886 cevap
73,622 yorum
3,013,113 kullanıcı