Eşitliğin sağlanmadığı (aslında ∞∑n=1af(n) yakınsak olan ama ∑i∈Iai yakınsak olmayan) bir örnek vereceğiz.
Bu örnekte I=N+ ve ∀n∈N+ için f(n)=n dir.
İki yakınsaklık tanımını ayırt etmek için ∞∑n=1an ve ∑i∈N+ai kullanacağız.
∞∑n=1(−1)nn (İşaret Değişimli Harmonik seri) i düşünelim. Bu serinin yakınsak olduğu iyi bilinmektedir (Toplamı da −ln2 dir).
Diğer taraftan (tüm koşullu yakınsak serilerde olduğu gibi) pozitif terimlerinden oluşan seri ∞∑n=112n ıraksaktır.
∑i∈Iai=S (S∈R) olduğunu varsayıp, ε=1 alalım. Tanımımızdan,
Her B⊇A(B⊂I) için |∑i∈Bai−S|<1 olacak şekilde sonlu bir A⊂I var olacaktır.
K=max olsun. \sum_{n=1}^\infty\frac1{2n} ıraksak olduğundan (burası biraz açıklama gerektiriyor),
\frac1{2K}+\frac1{2(K+1)}+\cdots+\frac1{2(K+M)}\geq2 olacak şekilde bir M\in\mathbb{N}^+ vardır.
B=A\cup\{2K,2(K+1),\ldots,2(K+M)\} olsun (bu kümeler ayrıktır), B sonludur ve A\subsetneqq B olur. Kabulümüzden
\displaystyle\left| \sum_{i\in B}a_i-S\right| <1 dir. Diğer tarafdan
\left| \sum_{i\in B}a_i-S\right| =\left|\sum_{i\in A}a_i+\frac{(-1)^{2K}}{2K}+\frac{(-1)^{2(K+1)}}{2(K+1)}+\cdots+\frac{(-1)^{2(K+M)}}{2(K+M)}-S\right| \geq\left| \sum_{n=K}^{K+M}\frac{1}{2n}\right| -\left| \sum_{i\in A}a_i-S\right| >2-1=1 olur. Çelişki.
Biraz dikkatli bakılırsa, aslında HER koşullu yakınsak \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n serisi için \displaystyle\sum_{i\in \mathbb{N}^+}a_i in ıraksak olduğunu gösterdiğimiz farkedilebilir.