$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}$ serisi (standart tanım ile) mutlak yakınsak ise $\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}^+}a_n$ de (bizim yaptığımız tanıma göre) yakınsak mıdır?

Question

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}$ serisi (standart tanım ile) mutlak yakınsak (absolutely convergent) ve toplamı $S$ ise $\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}^+}a_n$ de (bizim yaptığımız tanıma göre) yakınsak mıdır ve yakınsak ise toplamı $S$ midir?

Answer 1

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}$ mutlak yakınsak ve toplamı $S$ olsun. Bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin.

(standart) Yakınsaklık tanımından, ($s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ olmak üzere) her $n\geq K_1$ için $|s_n-S|<\frac{\varepsilon}{2}$ olacak şekilde bir $K_1\in\mathbb{N}^+$ vardır.

ayrıca $\sum|a_n|$ yakınsak olduğundan (seriler için Cauchy kriterinden), 

 $m\geq n\geq K_2$ iken $\sum_{k=n}^{m}|a_k|<\frac{\varepsilon}{2}$ olacak şekilde bir $K_2\in \mathbb{N}^+$ vardır.

 $K=\max\{K_1,K_2\}$ ve $A=\{1,2,\ldots,K\}$ olsun.  $A\subset\mathbb{N}^+$ ve $A$ sonludur.

 $B\supseteq A,\ (B\subset \mathbb{N}^+)$ sonlu olsun.

  $\displaystyle\left|\sum_{n\in B}a_n-S\right|=\left|\left( \sum_{n\in A}a_n-S\right)+\sum_{n\in B\setminus A}a_n \right|\leq \left| \sum_{n\in A}a_n-S\right|+\left| \sum_{n\in B\setminus A}a_n \right|$

 $n\in B\setminus A$ ise $n>K\geq K_2$ olacağı için (bir $m\geq K+1$ için),

  $\displaystyle\left| \sum_{n\in B\setminus A}a_n \right|\leq \sum_{n\in B\setminus A}|a_n|\leq \sum_{k=K+1}^m|a_k| <\frac{\varepsilon}{2}$ olur.

 Ayrıca ($K\geq K_1$ olduğu için) $\displaystyle\left| \sum_{n\in A}a_n-S\right|=|s_K-S|<\frac{\varepsilon}{2}$ olur.

    Bunlar, yukarıdaki eşitsizlikte yerine konduğunda:

 $\displaystyle\left|\sum_{n\in B}a_n-S\right|< \varepsilon$ elde edilir.

Comments

Bu yaptıklarımın (ve daha fazlasının) Ali Nesin in 

https://matematikkoyu.org/docs/analiz_1.pdf (adresi güncelledim)

de bulabileceğiniz ANALİZ I ders kitabında (bölüm 23) olduğunu yeni farkettim.