Question

"[$p$ asaldır] $\Leftrightarrow$ [$p|mn\Rightarrow p|m$ V $p|n$]" önermesini ispatlayınız.

Answer 1

Gereklilik: $p$ asal ve $p \mid mn$ olsun; yani $mn=pt$ olacak şekilde $t\in \Bbb{Z}$ vardır. Kabul edelim ki; $p\nmid m$ olsun. Bu durumda $(p,m)=1$ olup $px+my=1$ olacak şekilde $x,y\in \Bbb{Z}$ vardır. Eşitliği $n$ ile çarpalım. $n=pnx+mny$ ve $p$ parantezine alalım. $n=p(nx+ty)$ olur ki $p \mid n$ elde ederiz. Tersine; kabul edelim ki $p$ asal olmasın. Bu durumda $p=ab$ olacak şekilde $1 <a<p$ ve $1<b<p$ tamsayıları vardır. Kabulden $p\mid a$ veya $p\mid b$ olur ki bu $a$ ve $b$ nin seçimiyle çelişir. O halde $p$ asaldır.