Karmaşık düzlemde integral alirken neden bir $C$ egrisine ihtiyac duyuyoruz?

Question

Karmaşık düzlemde $z_1$'den $z_2$'ye integral alirken neden ikisi arasinda bir $C$ egrisine ihtiyac duyuyoruz?

Comments

Soruyu anlamadım. Toplama yaparken neden iki sayıya ihtiyaç duyuyoruz gibi olmamış mı biraz?

---

o soru da sorulabilir hocam. Ya her seyi farkli tanimlasaydik, belki su an carpanlara ayirma gibi bir problemimiz olmazdi?

Answer 1

Riemann'ın gerçel integral için uç sınırlar arasını sonsuz kesite bölme fikrini karmaşık düzlemde genelleştirmeye kalktığımızda ara noktaların (iki boyutlu bir düzlemde oldukları için) seçiminin bariz olmadığını görürüz. Onun için karmaşık integraller biraz farklı tanımlanıyor.

Önce şu $C$ ile gösterilmiş eğrinin genel tanımını paylaşmak istiyorum.

Tanım: $m\in\{1,...,\infty \}$, $\emptyset\neq U\subseteq \mathbb{C}$ açık, $\alpha,\beta\in \mathcal{R}$, $\alpha<\beta$ ve $C:[\alpha,\beta]\rightarrow U$ olsun. Eğer hem $[\alpha,\beta]$'nın bir $G=(t_0,t_1,...,t_N)$ ayrışımı varsa -yani $\alpha=:t_0<t_1<...<t_{N-1}<t_N:=\beta$- hem de $C$ sürekli ve  $C\vert_{[t_{j-1},t_j]}\in \textbf{C}^m([t_{j-1},t_j],\mathbb{C})$ (=sürekli türevlenir göndermeler kümesi) ise, o zaman $C$ göndermesine  bir (parça parça) $\textbf{C}^m$ yolu/eğrisi denir. $C$'nin görüntüsü $iz(C):=C([\alpha,\beta])$'ye $C$'nin izi denir.

Bundan sonra $C:[\alpha,\beta]\rightarrow U$ bir $\textbf{C}^1$ eğrisi  olsun.
$lim_{t\searrow t_{j-1}}C'(t)$, $lim_{t\nearrow t_{j}}C'(t)$   $\mathbb{C}$'de mevcuttur. Bu durumda $C'\vert_{]t_{j-1},t_j[}$'yi  sürekli bir $C'_j:[t_{j-1},t_j]\rightarrow\mathbb{C}$ fonksiyonuna tamamlayabiliriz. $C'(t_j)\neq C'_{j+1}(t_j)$ de olabileceği için $C'$'yi bütün $[\alpha,\beta]$'da tanımlayamıyoruz.

Bunun yerine $\dot{C}:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathcal{C},t\mapsto$ $\begin{cases} C'(t) & \forall t\in [\alpha,\beta]\backslash\{t_0,...,t_N\} \\ (0 & \forall t\in\{t_0,...,t_N\} \end{cases}$

( $[\alpha,\beta]$ üzerinde sınırlı, $]t_{j-1},t_{j}[$ üzerinde sürekli) işimizi görecek.

Karmaşık düzlemdeki $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ noktaları için $z_1=C(\alpha)$, $z_2=C(\beta)$ olacak şekilde bir $C$ eğrisi seçelim.

Tanım: $f:iz(C)\rightarrow \mathbb{C}$ sürekli olsun. O zaman
$\int_C f(z)dz:=\int_\alpha^\beta f(C(t))\dot{C}(t)dt$'ye
$C$ eğrisi boyuncaki (eğri) integrali denir.
$\dot{C}$ ve $f$'nin tanımlarına göre bunu Riemann integrallerinin toplamı olarak da yazabiliriz:
$\int_C f(z)dz=\displaystyle\sum_{j=1}^{N}\int_{t_{j-1}}^{t_j} f(C(t))C'_j(t)dt$.

Şimdi örn. $f(z):=\frac{1}{z-0.5i}$, $z_1=-1+i$, $z_2=1+i$,  $\alpha=0$, $\beta=1$ $C_{çizgi}:=(2t-1+i)$, $C_{parabol}:=(2t-1)+i(2t-1)^2$ yolları boyuncaki integraller arasında bir fark olabileceğini (ilki $-2.2143i$, ikincisi $6.22254\cdot 10^{-9} + 4.06889 i$ ) görebiliriz.