Aynı yakınsayan genel terimli integral ve seri neden aynı değere yakınsamaz? Tüm veya çoğu seriyi integrallerle hesaplayabilir miyiz?

Question

                                                        Şekil 1 : $\dfrac1{n^2}$  için grafik ve integral için illustrasyon.

$\displaystyle\int_1^\infty\dfrac1{x^2}dx$     ve      $\displaystyle\sum_{x=1}^\infty\dfrac1{x^2}dx$


Yalnız burada bir sıkıntı var seri ile cevabı $\pi/6$  integralle ise $1$ buluyoruz, acaba demeden edemiyorum, acaba integrali hesaplarken dirtdörtgenlerin $x$ eksenindeki parçaları, seride ek olarak toplamadığımız için mi değişik bulduk?

Ve neden serilerin ıraksaklık yakınsaklığını integrallerle test edelim ki?

Tamam amacımız serilerin yakınsaklık ıraksaklığını test etmek ama daha öte bu serileri integral kullanarak hesaplayabilir miyiz?

Yukardaki grafikte $1+ai$ 'ler arasında $c_i$'ler alırsak biliyoruz ki $||P||\to0$ yani tüm $\triangle x$ normları $0$'a giderken $c_i$'ler $x_n<c_i<x_{n+1}$   iken $x_n=c_i=x_{n+1}$ olacaktır;

Şimdi; 

$\displaystyle\int_1^\infty\dfrac1{x^2}dx$     ve      $\displaystyle\sum_{x=1}^\infty\dfrac1{x^2}dx$  bunlar arasındaki fark neden kaynaklanıyor ve genel olarak bir seriyi integralle nasıl hesaplarız?Eğer hesaplayabilseydik süper olmaz mıydı? Peki bu $2$ sonuç arasındaki farkı nasıl düzeltiriz? Seri olan formda olmayıp da integralde olan x eksenindeki  $\triangle x$'leri ekleyelim ve ne oluyor görelim;

$\displaystyle\sum_{x=1}^\infty\dfrac1{x^2}dx\quad\to\quad \underbrace{\lim\limits_{a\to\infty}\displaystyle\sum_{x=1}^a}_{\displaystyle\int}\underbrace{\dfrac1{x^2}}_{f(x)}\underbrace{\dfrac1{a}}_{dx}$ 

Böyle yaptık ama gene başa döndük yani integrale, peki gelin integrali kurcalayalım ne çıkacak diyeceğim de bu bulduklarımızın tam tersini bulacağız görüldüğü üzere dedigim gibi x ekseni üstündeki $\triangle x$ parçalar seride hesaplanmıyor yani serinin integral cinsinden bir eşitliğini bulup bu integrali çözebilecek bir seviyeye çevirmek işin en önemli kısmı peki nasıl olacak?

Aşağıdaki eşitlikte tanımsızlık yaratmayacak durumları ele alırsam böyle bir genelleme doğru olur mu? Olursa bunu daha ilerletip, tüm veya çoğu seriyi integraller cinsinden hesaplayabilir miyiz?


$\displaystyle\sum_{x=1}^\infty f(x)=^? \lim\limits_{a\to \infty}\displaystyle\int_1^a \dfrac{f(x)}{a}dx$

Burada karşıma $2$ soru çıkıyor ;

Soru 1:  Sağdaki integral nasıl hesaplanır?

Soru 2: http://matkafasi.com/101163/limits_-displaystyle-dfrac-boyle-durumda-iceri-dagilabilir


Ek görseller;