Question

$\mathbb{R}\mathbb{P}^n$'den $\mathbb{R}\mathbb{P}^n$'e sürekli bir fonksiyon hangi şartlar altında $S^n$'den $S^n$'e bir fonksiyon tarafından verilir?

Answer 1

$p:\mathbb{S}^n\rightarrow \mathbb{RP}^n$ bildiğimiz (zıt noktaları özdeşleştiren) projeksiyon olsun. Bu (iki katlı) bir örtü uzayıdır. $f:\mathbb{RP}^n\rightarrow \mathbb{RP}^n$ sürekli olsun. $p\bar{f}=fp$ olacak şekilde bir $\bar{f}:\mathbb{S}^n\rightarrow \mathbb{S}^n$ arandığınıı varsayıyoruz elbette. $fp:\mathbb{S}^n\rightarrow\mathbb{RP}^n$ sürekli olur. (Bağlantılılı) Örtü uzaylarında yükseltme kriterinden, $fp$ nin $\mathbb{S}^n$ ye yükseltilebilmesi ($\bar{f}$ nin varlığı)  için gerek ve yeter koşul $(fp)_*(\pi(\mathbb{S}^n))\subseteq p_*(\pi(\mathbb{S}^n))$ olmasıdır. ($\pi$ esas (temel) grup, taban  uzayın bağlantılı olması varsayımından ve bu durumda grupların değişmeli olmalarından baz noktası önemsizdir.)

$n>1$ için $\pi(\mathbb{S}^n)=0$ dır.  Yükseltilebilirdir ($\bar{f}$ vardır).

$n=1$ için $\pi(\mathbb{S}^1)\cong \mathbb{Z}$ ve $\pi(\mathbb{RP}^1)\cong\mathbb{Z}$ ve (üreteçlerin uygun seçimi ile) $p_*:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z},\ n\mapsto 2n$ dir. Yükseltilebilme için gerek ve yeter koşul $\pi(\mathbb{S}^1)$ in üretecinin ($(fp)_*$ tarafından) $\pi(\mathbb{RP}^1)$ nin üretecinin çift katına gönderilmiş olmasıdır. Fakat $(fp)_*=f_*p_*$ oluşu ve $p_*$ ın herşeyi üretecin çift katına göndermesinden dolayı $(fp)_*(\pi(\mathbb{S}^1))\subseteq p_*(\pi(\mathbb{S}^1))$ yine sağlanır ve böyle bir $\bar{f}$ vardır.

$n=0$ durumu bu argümanlara gerek olmadan kolayca bulunur.