Question

$\mathbb{Q}$'nun $\mathbb{Z}$'yi içeren ancak $\mathbb{Z}$'den farklı öz altgrubu nedir?

Comments

ozalt grup ne demek acaba? $Q \cong Z \times (Z- \{0\})$

---

$\mathbb{Q}$'nun kendisinden farklı demek.. Proper subgroup yani.. 

---

sorduktan sonra fark ettim zaten de, gec oldu biraz..

---

hepsini bilmiyorum ama $0$, $\frac{1}{2}Z$, $\frac{1}{2}Z+\cdots+\frac{1}{2^n}Z$ gibi asal sayilarla alt grupplari bulunabilir.

Answer 1

Grup teoriden sorduğunuz alt gruplar ile $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ bölüm grubunun altgrupları aynıdır. Bu bölüm grubunun tüm sonlu üreteçli (finitely generated) altgrupları devirli gruptur. Her $n$ doğal sayısı için bir ve yalnız bir tane bu şekilde bir alt grup vardır ($1/n$ ile üretilir). Bu grubun finitely generated olmayan da altgrupları da vardır. Mesela her $p$ asla sayisi icin $p$-lokal tamsayılarının bölüm grubu $\mathbb{Z} _{(p)}/\mathbb{Z}$ böyle bir alt gruptur. Böyle de sonsuz tane alt grup vardır. Bütün altgruplarının listesini çıkarmak için $\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \cong \oplus _{p} \mathbb{Z}_{p^{\infty} }$ izomorfizmasını kullanabilirsin. Sonuç olarak Şafak'ın listelediği gibi listelenebilir bütün alt gruplar. İngilizce biliyorsanız bununla ilgili burada da bir tartışma var:

http://math.stackexchange.com/questions/66145/mathbbq-mathbbz-has-a-unique-subgroup-of-order-n-for-any-positive-inte

Bununla ilgili ilginç birşey de şu, bu grubun maksimal altgrupları yok. Her altgrup için daha büyük altgrup bulabiliyorsunuz. Bir başka ilginç nokta şu $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ grubunu $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1$ grubunun içine gömüp bulmak istediğiniz alt grupları çember grubunun altgrupları olarak görebiliyorsunuz. 

http://math.stackexchange.com/questions/160686/every-finite-subgroup-of-mathbbq-mathbbz-is-cyclic

Answer 2

1) Rasyonel sayilarin sonlu uretecli altgruplari dongusel olmak zorunda. Sercan bunu baska bir soruda ispatlamisti. Belki yorum olarak yazar, ben nerede oldugunu animsamiyorum acikcasi. En azindan sonlu uretecli her altgrup ozalt grup demek.

2) $\frac{1}{2}Z+\cdots+\frac{1}{2^n}Z$ alt grubunun $\frac{1}{2^n}Z$ altgrubundan ne farki var anlamadim?

3) $a=\{a_p\}_{\text{$p$ asal}}$ ile elemanlari $\mathbb{N}\cup \{\infty\}$ kumesinden olan tipik bir elemanı gosterelim ve böyle bir $a$ dizisi icin su kumeyi tanimlayalim:  $$S_a=\{\frac{1}{p^i}:i\leq a_p\}$$  ve son olarak $S_a$ ile uretilen altgrubu da  $$Q_a$$ ile gosterelim. Eger $a$ sabit $\infty$ dizisi degilse bu bir ozaltgrup verir. Baska da ozaltgrubu yoktur diye iddia edecegim ama emin degilim ve derse gitmem gerek. Iddia dogru mu bence Nsky anlar. Baska ozaltgrubu var tabi, bu uretecleri tamsayilarla carparak elde edilen uretec kumeleriyle bulunanlar. Ama onlar bunlarin guzel altgruplari.

- Bunlarin ozaltrup olusturacagi $p-sel$ degerlendirmenin ultrametrik ozelliginden hemencik gozukur.

- Herhangi bir $G$ ozalt grubu icin $a$ dizisini soyle bulabiliriz. $a_p=\sup\{-v_p(g):g\in G\}$.

Comments

1) cismin sonlu alt grubu

2) aradaki fark gunumuzde ki "insan" ile "insan evladi" arasindaki fark..

3) ..un muhattabi ben degilim.. herkes verilen odevi yapsin :)

Answer 3

Her ne kadar aynı yapılardan bahsetmesek de bir şu bağlantıdaki çözümleri değerlendirmekte fayda var: $\mathbb{Z}\subset A\subset \mathbb{Q}$ koşulunu sağlayan $A$ ara halkaları nelerdir?