Question

$\mathbb{Z}$ ve $\mathbb{Q}$ üzerinde $\mathbb{R}$ üzerindeki standart topolojiden indirgenen alt uzay topolojileri mevcut olsun. Bu durumda $\mathbb{Z}$ ve $\mathbb{Q}$'nun homeomorf olmadığını gösteriniz.

Answer 1

İpucu: $\mathbb{Z}$ üzerindeki alt uzay topolojisinin ayrık topoloji olduğunu ve $\mathbb{Q}$ üzerindeki alt uzay topolojisinin ayrık topoloji olmadığını gözlemleyin.

$\mathbb{Z}$ ile $\mathbb{Q}$ aynı kardinalitede olduğundan $\mathbb{Z}$ kümesinden $\mathbb{Q}$ kümesine en az bir tane bir bijektif fonksiyon vardır. $\mathbb{Z}$ ve $\mathbb{Q}$ üzerinde $\mathbb{R}$ üzerindeki standart (alışılmış) topolojiden indirgenen alt uzay topolojileri mevcut olmak üzere 

$$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$$

fonksiyonu (kuralı ne olursa olsun) süreklidir.(Neden?) Ancak bu fonksiyon $x\in\mathbb{Z}$ olmak üzere 

$$\{x\}\in\mathcal{U}_{\mathbb{Z}} \,\ \text{ fakat } \,\ f[\{x\}]=\{f(x)\}\notin\mathcal{U}_{\mathbb{Q}}$$  açık bir fonksiyon değildir. 

Not: $\mathcal{U}$, $\mathbb{R}$ üzerindeki alışılmış topoloji.