$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan x}x=?$

Question

$\lim _{x\to+\infty}\frac{\tan x}x=?$

Answer 1

Şun genel önerme işimizi kolaylaştıracaktır:

$f(x)$ (sabit olmayan) periyodik bir fonksiyon ise $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ (sonsuz olarak bile) var olamaz. İspatı pek zor değil.

Şimdi $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan x}x=L$ olduğunu varsayalım. $L=0$ durumu dışında (sonsuz $L$ durumu dahil) , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\tan x=\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan x}x x=L\cdot(+\infty)=\begin{cases} +\infty\quad L>0\ \text{ise}\\-\infty\quad L<0\text{ ise}\end{cases}$ bulunur. Önerme ile çelişiyor. Şimdi de $L=0$ durumunun imkansız olduğunu gösterelim. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan x}x=0$ olduğunu varsayalım. $\varepsilon=\frac1{2\pi}$ için 

$$x>M \text{ ve }x\neq(2n+1)\frac\pi2\text{ için }\left|\frac{\tan x}x\right|<\varepsilon$$ olacak şekilde bir $M\in\mathbb{R}$ vardır. ($0<x<\frac\pi2\text{ için }\cos x>1-x^2,\ 0<\sin x<x$ standart eşitsizliklerinden,  her $n\in\mathbb{N}_{>0}$ için) $\tan((2n+1)\frac\pi2-\frac1n)=\cot\frac1n=\frac{\cos\frac1n}{\sin\frac1n}>\frac{1-\frac1{n^2}}{\frac1n}=\frac{n^2-1}{n}$ olur. $n>1$ ve yeterince büyük seçildiğinde $(2n+1)\frac\pi2-\frac1n>M$ ve $\frac{n-1}{n}\geq\frac12$  olur ve bunun sonucunda, 

 ($(2n+1)\frac\pi2-\frac1n<(n+1)\pi$ de kullanarak):

$$\frac{\tan((2n+1)\textstyle\frac\pi2-\frac1n)}{ (2n+1)\frac\pi2-\frac1n}>\frac{n-1}{n\pi}\geq\varepsilon$$ olur. Çelişki. (Biraz daha şık ama daha az elementer olanı da, her $n\in\mathbb{N}_{>0}$ için $(n\pi,(2n+1)\frac\pi2)$ aralığından $\tan x_n=x_n$ şeklinde bir sayının varlığını göstermek olurdu)

(Esas fikir: Her $n\in\mathbb{N}$ için $\displaystyle\lim_{x\uparrow\frac{(2n+1)\pi}2}\tan x=+\infty$ oluşu)

Comments

Cevaplar için teşekkürler.

Answer 2

Benimki çok ilkel bir çözüm olacak ama |tanx|>x (birim çember tanımı) olduğu için verilen ifade $+\infty$ için $+\infty$ a gider

Comments

bu her zaman mi dogru, yoksa $-\pi$ ile $\pi$ arasinda mi? Hatta $tan x$'in sifir oldugu yerlerde direk saglamaz..

---

hangisi ki hocam .s soyle bi baktim, benim icinde $x^p$ olan bi sorum yok galiba :)

---

$1+2^p+3^p+...n^p$ toplamı idi sanırım yada ben yalnış hatırlıyorum

---

http://matkafasi.com/3045/%24-sum_-k-1-n-k-5%24-toplaminin-sade-hali-nedir

Bunun cevaplari var epey, tam sayilar icin ama tam sayi olmazsa icin bi cevabi yok. O varsa iyi olur :) 

---

ve tabiki |tanx|>x  $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) x\ne0$ için  sağlanır  

---

yok :)