ABC bir üçgen H diklik merkezi,O çevrel çemberin merkezi.HO//BC,HD BC'ye dik.HO 5 br,HD 6 br olduğuna göre OC kaçtır?

Question

******13

Answer 1

Öncelikle üçgenin $A$ köşesinden diklik merkezine olan uzaklığının ($|AH|$), çevrel çember merkezinin $[BC]$'ye uzaklığının $2$ katının olduğunu ispatlamak gerekir:

Yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi, $[AH] \perp [BC]=M$ noktası ve $H$ noktası diklik merkezi ve $O$ çevrel çember merkezi olsun.

$B$ ve $O$'dan geçen çapı çizelim, bu doğrunun çevrel çemberi kestiği nokta $K$ olsun. $BKC$ üçgenine dikkat edilirse, $[BK]$ çap olup, $m(\widehat{BKC})=90^\circ$'dir.

$[CK] \perp [BC]$, $|BO|=|OK|$

Bu durumda, $|BO|=|OK|$ ve $AM // OD // KC$ $(I)$

$[OD]$ doğru parçası, $BKC$ üçgeninde orta taban olduğu için $|KC|=2|OD|$'dir.

$AK$ doğru parçasını çizersek, $[BK]$ çap olduğu için $m(\widehat{BAK})=90^\circ$'dir.

$CH$ doğrusunu çizelim. Bu doğrunun $[AB]$ kenarını kestiği nokta $T$ olsun. $H$ diklik merkezi olduğu için $[CT] \perp [AB]$'dir.

$[AK] \perp [AB]$ ve $[CT] \perp [AB] \Rightarrow AK // CT$ $(II)$

$(I)$ ve $(II)$'den $AHCK$ bir paralelkenardır. O halde $|AH|=|KC|$ olup $|AH|=2|OM|$'dir.

Alıntı: http://www.geometridefteri.com/problem-diklik-merkezi-ve-cevrel-cemberin-merkezi/#more-720

İspatımız tamamdır.

Sorumuzdaki $O$ noktasından $[BC]$'ye inilen dikme ayağı $E$ olsun.

$HO // BC$ olduğundan, $|OE|=|HD|=6$'dır.

$[AH]$'ı çizelim.

$|AH|=2 |OE|=12$ olduğundan, $AHO$ üçgeninde Pisagor Teoreminden, $|AO|=\sqrt{12^2+5^2}=13=|OC|=x$'tir.

Comments

Çok teşekkür ederim :) 

Answer 2

Güzel bir soruydu. Özellikle ispat çok işime yaradı. Çok teşekkür ederim