f(ax)+f(bx) toplamında x=tb ve c=ab diyerek, aşağıdaki denk problemi elde ederiz:
f(t), sabitten farklı , sürekli ve periyodik bir fonksiyon ise F(t)=f(t)+f(ct) fonksiyonunun periyodik olması için c'nin rasyonel sayı olması gerekli ve yeterlidir. Yeterli olacağı açıktır. Gerekli olduğunu gösterelim.
f 'in en küçük pozitif periyodu p olsun. O halde, f(ct) fonksiyonunun en küçük periyodu pc olur. F(t)'nin periyodik olduğunu ve bir pozitif periyodunun q olduğunu varsayalım
(∀t∈R) için F(t+q)=F(t) yani f(t+q)+f(ct+cq)=f(t)+f(ct) ve buradan f(t+q)−f(t)=f(ct)−f(ct+cq) olur.
Bu eşitliğin sağı ve solu, aynı g(t) fonksiyonuna eşittir:
g(t)=f(t+q)−f(t)'den, her t için g(t+p)=g(t) olur. Yine, g(t)=f(ct)−f(ct+cq)'den, her t için g(t+pc)=g(t) olur. Demek ki, g sürekli
fonksiyonu sabitten farklı ise, p ve pc sayıları, g'nin en küçük pozitif periyodunun katları olacaktır. Dolayısıyla, bir m,k∈N için p'nin p/c'ye oranı mk'ya eşittir. Yani, c=mk∈Q.
Eğer g sürekli fonksiyonu sabit ise, her t için
f(t+q)−f(t)=ℓ ( ℓ sabit) buradan
f(t+q)=f(t)+ℓ
ve sonuç olarak ∀k∈N için f(t+kq)=f(t)+kℓ
bulunur. ℓ=0 olmak zorundadır. Çünkü, aksi halde, eşitliğin sol tarafı sınırlı , sağ tarafı sınırlı değil. ℓ=0 olursa, her t∈R için f(t+q)=f(t)'den q sayısı f 'in bir periyodu olduğunu görürüz. O halde bir n∈N için q=np olur. Yine, f(t+q)−f(t)=f(ct)−f(ct+cq)
eşitliğinden, her t için f(ct)=f(ct+cq), yani, q sayısı f(ct) fonksiyonunun bir periyodudur. O halde, bir k ve m için kq=mpc sağlanmalıdır. Burada, q=np eşitliğini kullanırsak, c'nin bir rasyonel sayı olduğunu görürüz.