Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

a ve b sıfırdan farklı olmak üzere, cos(ax)+cos(bx) fonksiyonunun periyodik olması için ab oranının rasyonel olması gerektiği biliniyor. Daha genel olarak

f(x) sürekli fonksiyonunun periyodu bir T>0 sayısı olsun. Bu durumda f(ax)+f(bx) toplamının da

periyodik olması için a ile b arasında nasıl bir bağıntı sağlanmalıdır?

Akademik Matematik kategorisinde (210 puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi

En genel olarak: a/b'nin rasyonel olmasi. Bu her kosulda periodikligi verir.

Lakin f sabit bir fonksiyonsa a,b her sayi da olabilir. Cekirdek gibi bir tanimi yaparsak cekirdeginde a/b'nin rasyonel olmasi olur.

Tabi sabit fonksiyonun periodu 0. Onlari cikartmak lazim.

En genel durumda da a/b nin rasyonel olmasının gerekli ve yeterli koşul olduğunu nasıl gösteririz?

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

f(ax)+f(bx) toplamında x=tb ve c=ab diyerek, aşağıdaki denk problemi elde ederiz:


f(t), sabitten farklı , sürekli ve periyodik bir fonksiyon ise F(t)=f(t)+f(ct) fonksiyonunun periyodik olması için c'nin rasyonel sayı olması gerekli ve yeterlidir. Yeterli olacağı açıktır. Gerekli olduğunu gösterelim.

f 'in en küçük pozitif periyodu p olsun. O halde, f(ct) fonksiyonunun en küçük periyodu pc olur. F(t)'nin periyodik olduğunu ve bir pozitif periyodunun q olduğunu varsayalım

(tR) için F(t+q)=F(t) yani f(t+q)+f(ct+cq)=f(t)+f(ct) ve buradan f(t+q)f(t)=f(ct)f(ct+cq) olur.

 Bu eşitliğin sağı ve solu, aynı g(t) fonksiyonuna eşittir:

g(t)=f(t+q)f(t)'den, her t için g(t+p)=g(t) olur. Yine, g(t)=f(ct)f(ct+cq)'den, her t için g(t+pc)=g(t) olur. Demek ki, g sürekli

fonksiyonu sabitten farklı ise, p ve pc sayıları, g'nin en küçük pozitif periyodunun katları olacaktır. Dolayısıyla, bir m,kN için p'nin p/c'ye oranı mk'ya eşittir. Yani, c=mkQ.

Eğer g sürekli fonksiyonu sabit ise, her t için

f(t+q)f(t)= ( sabit) buradan

f(t+q)=f(t)+

ve sonuç olarak kN için f(t+kq)=f(t)+k

bulunur. =0 olmak zorundadır. Çünkü, aksi halde, eşitliğin sol tarafı sınırlı , sağ tarafı sınırlı değil. =0 olursa, her tR için f(t+q)=f(t)'den q sayısı f 'in bir periyodu olduğunu görürüz. O halde bir nN için q=np olur. Yine, f(t+q)f(t)=f(ct)f(ct+cq)

eşitliğinden, her t için f(ct)=f(ct+cq), yani, q sayısı f(ct) fonksiyonunun bir periyodudur. O halde, bir k ve m için kq=mpc sağlanmalıdır. Burada, q=np eşitliğini kullanırsak, c'nin bir rasyonel sayı olduğunu görürüz.


(623 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

En genelinde f(ax)+f(bx) toplamının periyodik olması için ab 'nin rasyonel olmasının gerek ve yeter koşul olduğunu kabul edelim. Buna göre; a,b birer tamsayı ve b0 olmalıdır.

Toplamın değişme özelliğinden f(bx)+f(ax) 'in de periyodik olması için ba nın rasyonel olması gerektir. Yine a,b birer tamsayı ve a0 olmalıdır. O halde ab0 olmalıdır.

Zaten f'in periyodu T>0 ise f(ax)'in periyodu T|a| ve f(bx)'in periyodu T|b|  olup f(ax)+f(bx)'in periyodu OKEK(T|a|,T|b|)=T(|b|+|a|)|a.b| dan yine |a.b|=0a.b0 olur.

(19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,623 yorum
3,046,440 kullanıcı