$f$ periyodik ise $f\left( ax\right) +f\left( bx\right)$ toplamının periyodikliği için a ve b nin taşıması gereken koşullar.

Question

$a$ ve $b$ sıfırdan farklı olmak üzere, $\cos \left( ax\right)+\cos \left( bx\right)$ fonksiyonunun periyodik olması için $\frac{a}{b}$ oranının rasyonel olması gerektiği biliniyor. Daha genel olarak

$f\left( x\right)$ sürekli fonksiyonunun periyodu bir $T>0$ sayısı olsun. Bu durumda $f\left( ax\right) +f\left( bx\right)$ toplamının da

periyodik olması için $a$ ile $b$ arasında nasıl bir bağıntı sağlanmalıdır?

Comments

En genel olarak: $a/b$'nin rasyonel olmasi. Bu her kosulda periodikligi verir.

Lakin $f$ sabit bir fonksiyonsa $a, b$ her sayi da olabilir. Cekirdek gibi bir tanimi yaparsak cekirdeginde $a/b$'nin rasyonel olmasi olur.

---

Tabi sabit fonksiyonun periodu $0$. Onlari cikartmak lazim.

---

En genel durumda da a/b nin rasyonel olmasının gerekli ve yeterli koşul olduğunu nasıl gösteririz?

Answer 1

$f\left( ax\right) +f\left( bx\right)$ toplamında $x=\frac{t}{b}$ ve $c=\frac{a}{b}$ diyerek, aşağıdaki denk problemi elde ederiz:

$f\left( t\right)$, sabitten farklı , sürekli ve periyodik bir fonksiyon ise $F\left( t\right) =f\left( t\right) +f\left( ct\right)$ fonksiyonunun periyodik olması için $c$'nin rasyonel sayı olması gerekli ve yeterlidir. Yeterli olacağı açıktır. Gerekli olduğunu gösterelim.

$f$ 'in en küçük pozitif periyodu $p$ olsun. O halde, $f\left(ct\right)$ fonksiyonunun en küçük periyodu $\frac{p}{c}$ olur. $F\left( t\right)$'nin periyodik olduğunu ve bir pozitif periyodunun $q$ olduğunu varsayalım

$(\forall t\in\mathbb{R})$ için  $$F\left( t+q\right) =F\left( t\right)$$ yani $$f\left( t+q\right) +f\left( ct+cq\right) =f\left( t\right) +f\left(ct\right)$$ ve buradan $$f\left( t+q\right) -f\left( t\right) =f\left( ct\right) -f\left(ct+cq\right)$$ olur.

 Bu eşitliğin sağı ve solu, aynı $g\left(t\right)$ fonksiyonuna eşittir:

$g\left( t\right) =f\left( t+q\right) -f\left( t\right)$'den, her $t$ için $g\left( t+p\right) =g\left( t\right)$ olur. Yine, $g\left( t\right)=f\left( ct\right) -f\left( ct+cq\right)$'den, her $t$ için $g\left( t+\frac{p}{c}\right) =g\left( t\right)$ olur. Demek ki, $g$ sürekli

fonksiyonu sabitten farklı ise, $p$ ve $\frac{p}{c}$ sayıları, $g$'nin en küçük pozitif periyodunun katları olacaktır. Dolayısıyla, bir $m,k\in\mathbb{N}$ için $p$'nin $p/c$'ye oranı $\frac{m}{k}$'ya eşittir. Yani, $c=\frac{m}{k}\in\mathbb{Q}$.

Eğer $g$ sürekli fonksiyonu sabit ise, her $t$ için

$$f\left( t+q\right) -f\left( t\right) =\ell$$ ( $\ell$ sabit) buradan

$$f\left( t+q\right) =f\left( t\right) +\ell$$

ve sonuç olarak $\forall k\in\mathbb{N}$ için $$f\left( t+kq\right) =f\left( t\right) +k\ell$$

bulunur. $\ell =0$ olmak zorundadır. Çünkü, aksi halde, eşitliğin sol tarafı sınırlı , sağ tarafı sınırlı değil. $\ell =0$ olursa, her $t\in\mathbb{R}$ için $f\left( t+q\right) =f\left( t\right)$'den $q$ sayısı $f$ 'in bir periyodu olduğunu görürüz. O halde bir $n\in\mathbb{N}$ için $q=np$ olur. Yine, $$f\left( t+q\right) -f\left( t\right) =f\left( ct\right) -f\left(ct+cq\right)$$

eşitliğinden, her $t$ için $f\left( ct\right) =f\left(ct+cq\right)$, yani, $q$ sayısı $f\left( ct\right)$ fonksiyonunun bir periyodudur. O halde, bir $k$ ve $m$ için $kq=m\frac{p}{c}$ sağlanmalıdır. Burada, $q=np$ eşitliğini kullanırsak, $c$'nin bir rasyonel sayı olduğunu görürüz.

Answer 2

En genelinde $f(ax)+f(bx)$ toplamının periyodik olması için $\frac ab$ 'nin rasyonel olmasının gerek ve yeter koşul olduğunu kabul edelim. Buna göre; $a,b$ birer tamsayı ve $b\neq0$ olmalıdır.

Toplamın değişme özelliğinden $f(bx)+f(ax)$ 'in de periyodik olması için $\frac ba$ nın rasyonel olması gerektir. Yine $a,b$ birer tamsayı ve $a\neq0$ olmalıdır. O halde $ab\neq0$ olmalıdır.

Zaten $f$'in periyodu $T>0$ ise $f(ax)$'in periyodu $\frac{T}{|a|}$ ve $f(bx)$'in periyodu $\frac{T}{|b|}$  olup $f(ax)+f(bx)$'in periyodu $OKEK(\frac{T}{|a|},\frac{T}{|b|})=\frac{T(|b|+|a|)}{|a.b|}$ dan yine $|a.b|=0 \Rightarrow a.b\neq0$ olur.