Fonksiyon cisimlerinde turevlerin $1$-boyutlu modul olmasi ve zincir kurali [kapalı]

Question

Tanim 4.1.5:  a) $x \in F$ elemani $F/K$ fonksiyon cisminin ferdi unsuru (separarting element) olsin. $F/K$ fonksiyon cisminin $\delta_x(x)=1$ sartini saglayan $\delta_x : F \to F$ turevine $x$'e gore turev diyecegiz.

b) $Der_F := \{\eta: F \to F \: | \: \eta \text{ turev}\}$ olarak tanimlayalim. $\eta_1,\eta_2 \in Der_F$ ve $z,u \in F$ icin $$(\eta_1+\eta_2)(z) := \eta_1(z)+\eta_2(z) \text{ ve } (u\eta_1)(z)=u(\eta_1(z))$$ olarak tanimlayalim. Bu durumda $\eta_1+\eta_2$ ve $u \eta_1$ de turev olurlar ve $Der_F$ de bir $F$- modul olur. Bu nedenle $Der_F$ kumesini $F/K$ fonksiyon cisminin turevlerinin modulu olarak adlandiracagiz.

Onsav 4.1.6: $x \in F$ elemani $F/K$ fonksiyon cisminin ferdi unsuru olsun. Asagidakiler saglanir:
a) Her $\eta\in Der_F$ icin $\eta=\eta(x)\delta_x$ olur. Yani $Der_F$  $1$-boyulu $F$- moduldur.
b) (Zincir kurali) $y \in F$ baska bir ferdi unsur olsun, bu durumda $$\delta_y=\delta_y(x)\delta_x$$ olur.
c) $t \in F$ olsun. $$\delta_x(t) \ne 0 \Leftrightarrow t \text{ ferdi unsur}.$$

Comments

Belki ilerde birileri kendi ispatlarını da yazmak isteyebilirler.

---

Kapatmamin sebebi her soruda eski tanimlari vermek ve unite basi kabulleri eklemek istememem. Zaten yakin bir zamanda duzenleyecegim, o zaman tekrar acmayi planliyorum. Baglantilarla beraber. Bi yerlerine akisin nasil devam ettigini eklemem gerekiyor.

Yani tadilattan dolayi kapali.

Answer 1

a) $\eta$ ve $\eta(x)\delta_x$ turevleri icin $(\eta(x)\delta_x)(x)=\eta(x)\delta_x(x)=\eta(x)$ esitligi saglandigindan, Onsav 4.1.3'ten dolayi $\eta=\eta(x)\delta_x$ esitligi vardir.

b) a)'nin ozel durumu.

c) Eger $t\in F$ ferdi unsur ise $1=\delta_t(t)=\delta_t(x)\delta_t(x)$ olur. Yani $\delta_x(t) \ne 0$. Simdi $t \in F$ elemaninin ferdi unsur olmadigini kabul edelim. Bu durumda $\text{char }K=0$ ise $t \in K$ ve $\text{char }K=p>0$ ise bir adet $u \in F$ elemani icin $t=u^p$ olur. (Onerme 3.10.2'ye bakilabilir). Onsav 4.1.2 (a) ve (c)'den dolayi $\delta_x(t)=0$ olur.