$n\in \mathbb{N}$ için $f(n)=n!=n\times (n-1)\times\dots \times 2\times 1$ fonksiyonunun türevi nedir?

Question

Mühendis bir arkadaşımın uzun zaman önce bana sorduğu bir soruydu.

Cevabın içinde türevin varlığı, anlamı ve içeriği hakkında güzel bilgiler mevcut.

Comments

gamma fonksiyonu olarak mi? $n$ nerenin elemani?

---

Bildiğimiz faktöriyel fonksiyonu, yine de düzenledim.

Answer 1

$$f(n)=n!$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonunun tanım kümesinin türev kümesi boş küme yani $$D(\mathbb{N})=\emptyset$$ olduğundan $$\mathbb{N} \cap D(\mathbb{N})=\emptyset$$ olur. Dolayısıyla $f$ fonksiyonunun hiçbir noktasında türev söz konusu değildir.

Belirli bir noktada türevden bahsedebilmek için o noktanın fonksiyonun tanım kümesine ve tanım kümesinin türev kümesine ait olması gerekir. Aksi takdirde - bu soruda olduğu gibi - türevden bahsedilemez.

Yalnız şunu da ilave edeyim. Zaman skalasında $(\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin kapalı bir altkümesine zaman skalası deniyor$)$ çalışıyorsanız işler değişir.

 

NOT: $D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}=\{x|(\forall \epsilon>0)([(x-\epsilon,x+\epsilon)\setminus \{x\}]\cap A\neq\emptyset)\}$

Comments

http://calculus.subwiki.org/wiki/Discrete_derivative

Answer 2

Fark operatoru ya da soyut (discrete) turev olarak dusunursek:

$\Delta(f(n))\: = \:f(n+1)-f(n)=n.n!$