Her $n\in\mathbb{N}$ için, her $0\leq k\leq n$ ve her $x$ için $f^{(k)}(x)\geq0$ (ve $f(0)=0,\ f(1)=1$) olacak şeklinde (sonsuz kez türevlenebilen) fonksiyon vardır.

Question

Verilen her $n$ doğal sayısı için, ilgili sorudaki gibi, sonsuz kez türevlenebilen,  (ama oradakinden farklı olarak) her $0\leq k\leq n$ ve $\forall x\in\mathbb{R}$ için, $f^{(k)}(x)\geq0$  ve $f(0)=0,\ f(1)=1$ olacak şekilde fonksiyonlar bulabilir miyiz? (elbette $f^{(0)}=f$) 

Örneğin. $n=1$ için, http://matkafasi.com/124107/bu-fonksiyonun-her-herde-turevlenebildigini-gosteriniz sorusundaki fonksiyon, küçük bir değişiklikten sonra, istenen özelliklere sahip olur. 

(edit: yanlış anlaşılmaması için , "sadece" sözcüğünü sildim.)

Comments

Bu sorumun amacı,

http://matkafasi.com/124149/2018-william-lowell-putnam-sinavindan-bir-soru

çözümünde, varlığı gösterilen $n$ sayısının sabit olamayacağını, fonksiyona göre değişeceğini  göstermek idi.

Answer 1

İddiayı Tümevarım ile kanıtlayacağız:

1. $n=1$ (dolayısıyla $n=0$ için de)

$f_1(x)=\begin{cases}e^{1-\frac1x}\quad x>0\\0\qquad\quad x\leq0\end{cases}$ için $f_1'(x)=\begin{cases}\frac1{x^2}e^{1-\frac1x}\quad x>0\\0\qquad\quad x\leq0\end{cases}$ olur.

($f(1)=1$ koşulunu sağlaması için, http://matkafasi.com/124107/bu-fonksiyonun-her-herde-turevlenebildigini-gosteriniz deki fonksiyonu $e$ ile çarpıyoruz. Diğer koşulları sağladığı,o soruda gösterilmiş idi) istenen tüm özelliklere sahiptir.

2. Bir $n$ doğal sayısı için $f_n$ böyle bir fonksiyon olsun.

$f_{n+1}(x)=\dfrac{\int_0^xf_n(t)\,dt}{\int_0^1f_n(t)\,dt}$ olarak tanımlayalım. ($\int_0^1f_n(t)\,dt>0$ dir.)

$f_{n+1}(0)=0$ ve $f_{n+1}(1)=1$ ve her $x\in\mathbb{R}$ için $f_{n+1}(x)\geq0$ olduğu,  açıktır.(*)

Diferansiyel-İntegral Hesabın Temel Teoreminden, her $x\in\mathbb{R}$ için $f_{n+1}'(x)=\frac{f_n(x)}{\int_0^1f_n(t)\,dt}$ olur. Bunun sonucu olarak da, her $k$ doğal sayısı ve her $x\in\mathbb{R}$ için $f_{n+1}^{(k+1)}(x)=\frac{f^{k}_n(x)}{\int_0^1f_n(t)\,dt}$ olur.

Bu da, * ile birlikte, tümevarım hipotezinden,$0\leq k\leq n+1$ ve her $x\in\mathbb{R}$ için, $f_{n+1}^{(k)}(x)\geq0$ koşulunun sağlandığını göstermek için yeterlidir.

(Edit: küçük imla düzeltmeleri yaptım)
(Edit: $f_{n+1}(x)$ in türevini alırken $\int_0^1f_n(t)\,dt$ e bölmeyi unutmuşum, onu düzelttim.)