Kanıt. ε>0 olsun. Eğer (xn)n dizisi Cauchy ise öyle bir N doğal sayısı olmalı ki her n,m>N için |xn−xm|<ε eşitsizliği sağlansın.
||xn|−|xm||≤ |xn−xm|<ε
O zaman (|xn|)n de Cauchy 'dir (?).
Cık.
Kanıt. ε>0 olsun. Eğer (xn)n dizisi Cauchy ise öyle bir N doğal sayı vardır ki her n,m>N için |xn−xm|<ε eşitsizliği sağlanır.
O zaman, üçgen eşitsizliğinden, ||xn|−|xm||≤|xn−xm|<ε olur.
Şimdi oldu. ◻