Pürüzsüz (iki değişkenli) bir fonksiyonun tek bir kritik noktası var ve her izdüşüm (=eşyükseklik) eğrisi kompakt(=tıkız) ise (mutlak) bir maksimumu veya minimumu vardır. Gösterin.

Question

Daha da ilginci (biraz daha zor) daha çok değişkenller için de doğru oluşu.

Answer 1

$f(x,y)$ nin biricik kritik noktası $P_0(x_0,y_0)$ ve ${f(x_0,y_0)=c_0}$ olsun. ${f(x_1,y_1)=c\neq c_0}$ olacak şekilde herhangi bir nokta alalım (fonksiyon sabit olmadığı için böyle bir nokta vardır). Kapalı fonksiyon teoreminden, ${f(x,y)=c}$ eşyükseklik eğrisi kompakt (=tıkız) 1-boyutlu manifold olur. Bu eşyükseklik eğrisinin bağlantılı bileşenleri kompakt (=tıkız) 1- boyutlu bağlantılı manifold (burası azıcık topoloji gerekiyor) olup çembere diffeomorfik (dolayısıyla basit kapalı eğri) olur.  İlgili problemde gösterildiği gibi, $f$, bu eğri ve içindeki noktalardan oluşan $B$ bölgesindeki maksimum ve minimumdan birine bu eğrinin içinde bir (kritik) noktada (bu nokta $P_0$ olmak zorunda), diğerine  sınırda  erişir. Eşyükseklik eğrisinini başka bir bileşeni olsa, bu   eğrilerden biri diğerinin içinde ya da ikisi de diğerinin dışında kalırdı. İkisi de diğerinin dışında olması durumunda aynı mantık ile ikinci bileşenin içinde kalan, dolayısıyla birinci bileşenin dışında kalan (başka) bir kritik nokta var olurdu, ama $f$ nin tek kritik noktası var olduğu için bu imkansızdır. Diğer durumda (birinin diğerinin içinde olması durumunda) iki eğri ve arasındaki noktalardan oluşan $B_1$ kompakt (=tıkız) bölgesindeki maksimum ve minimum düşünüldüğünde yine (biri içteki eğrinin içinde diğeri iki eğri arasında) iki kritik nokta var olması gerekirdi bu da imkansızdır. Öyleyse ${f(x,y)=c}$ eşyükseklik eğrisi tek parçadır (yani bağlantılıdır) dolayısıyla basit kapalı eğridir. Gerekirse, $f$ yerine $-f$ i, düşünerek $P_0$ da (yerel) minimum olduğunu varsayabiliriz. Aynen diğer problemde olduğu gibi ${f(x_1,y_1)>f(x_0,y_0)}$ elde edilir. $f$ nin tüm $\mathbb{R}^2$ deki minimum değerine $P_0$ da eriştiği gösterilmiş olur. Buradan, $f$ nin $P_0$ dan başka bir noktada $c_0$ değerini almadığı sonucu da çıkar.

Bu problemin çözümümde, $f$ nin tüm $\mathbb{R}^2$ de tanımlı olması da gerekmez, açık bir alt kümesinde tanımlı olması yeterlidir. Ayrıca  $f$ nin pürüzsüz olması da gerkemez, ikinci basamak kısmi türevlerinin (var ve) sürekli olması yeterldir.

Diferansiyel Topolojiye aşina bir matematik lisansüstü öğrencisi bu çözümü daha çok değişkenli fonksiyonlara da genelleştirebilir. Bir değişkenli fonksiyonlarda benzerini göstermek ise daha kolaydır.

Comments

Niye ikinci basamak kısmi türevler anılmış? Bu ispatta Kapalı Fonksiyon Teoremi için fonksiyonu $C^1$ istemek yeterli diye görüyorum.

---

Haklı olabilirsin. Ben o kısmına fazla dikkat etmeden yazdım.