Question

Bütün $n\in \mathbb{N}$ için $\sqrt {n}\leq \sqrt [n] {n!}\leq \dfrac {n+1} {2}$ olduğunu gösterin.

Analiz, final sınavımızda çıkmıştı. Aslında çözmüştüm ama neredeyse 50 dakikamı almıştı ve çözümümü hiç beğenmemiştim. Baya uğraşmıştım. Daha hoş çözümler arıyorum.

Answer 1

$n^{n/2 }$ $\le n!$ ilk kısım ki $$1.2.3....n$$ ve  $$n.n-1...2.1$$ yazarsak çarpıldıkları zaman, bu kısmın $n^n$ den büyük olduğu rahatlıkla görülür,$1.n=n;\ 2.(n-1)>n;\ 3.(n-2)>n...n.1=n$   eşitslizliğin ikinci kısmı ise $$\sqrt[n]{n!} \le \frac{n+1}{2}$$   $\sqrt[n]{1.2.3....n} \le \frac{1+2+3+....+n}{n}=\frac{n(n+1)}{2n}A.O\geq G.O$

Comments

Yani $n$ ile $1$'i $n-1$ ile $2$'yi ve böyle tekrar $1$ ile $n$'yi mi çarpıyoruz? Ben hala göremedim. Tamam $n$, $n-1$ şeklinde azalarak gidiyor ama $2$, $3$ sayıları da var. Tam anlayamadım.

---

guzel cozum.

---

1.n=n; 2.(n-1)>n ; 3.(n-2)>n...;n1.=n şeklinde 

---

Teşekkür ederim Sercan Bey, pek çok cevabınız var hayranlıkla seyrettiğim kolay gelsin

---

Tamam anladım şimdi. Çok teşekkür ederim cevabınız için.

---

gerçekten hoş çözüm.