Sup ve inf sorusu.

Question

A Ve B R nın alt kumelerı.Her A elemanıdır a için ve her B elemanıdır b için a küçük eşit b olsun.Bu durumda A bir supremuma ve B bir infimuma sahiptir.Ayrıca supA küçük eşit infB dır ispatlayınız.İspata İnfB küçük eşit supA olsun diyerek cözelim.

Comments

sen neler yaptin? Yani dedigin sekilde basladin mi? Nerede takildin?

---

Keyfi bir b , B elemanı sectım her a elemandir A icin a kücük esit b dedım yanı a nın supu oldugunu gosterdım sonra benzer seyı a ıcın yapıp b nın ınfı oldugunu gosterdım ama gerısı yok ..

---

bu arada en ıyı sectım ama dıger sorularımı yanlıs yaptın :) 

---

yanlis olan kisimlari (cevabin altina yorum olarak) paylasirsan ben de ogrenmis olurum.

Answer 1

$\sup A= \inf \{x \in \mathbb R \: \: | \: \: \text{tum $a \in A$ icin } a \leq x \}  \leq \inf B$. Son esitsizlik surdan geliyor: $S \subset T$ ise (ve infimumlar var ise) $\inf T \leq \inf S$.

Answer 2

$A,B\subseteq\mathbb{R}$ ve her $a\in A$ ve $b\in B$ için $a\leq b$ olmak üzere $\sup A\leq \inf B$ olduğunu göstereceğiz.

Tanım: $(\mathbb{R},\leq)$ posetinde $A\subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere

$$\sup A:=\min\{x|y\in A\Rightarrow y\leq x\}$$

$$\inf A:=\max\{x|y\in A\Rightarrow x\leq y\}$$ şeklinde tanımlandığını biliyoruz.

$$a\in A\Rightarrow a\leq \sup A \ldots (1)$$

$$b\in B\Rightarrow b\leq \sup B \ldots (2)$$

Öte yandan $B$ kümesinin herhangi bir elemanı, $A$ kümesinin her elemanından büyük eşit olduğundan her $b\in B$ için $$\sup A \leq b\ldots (3)$$ koşulu sağlanır. O halde $$(1),(2),(3)\Rightarrow a\leq \sup A\leq b\leq \sup B.$$

Comments

soylenenlerde yanlislik yok ama bu $\sup A \leq \inf B$ oldugunu veriyor mu? Elbet burdaki bilgileri bir sekilde birlestirince de veriyor ama ben ortada daginik bir bilgi olarak goruyorum su an icin bu cevabi. 

$(\forall b \in B)\: \:(supA\leq b)$ ise $\inf B$'nin tanimindan $\sup A \leq \inf B$.

Fakat ispatta $\inf$ ile ilgili hic bir sey yok?

Answer 3

$\sup A$'nin tanimindan $(\forall b \in B)\: \:(supA\leq b)$ ve $\inf B$'nin tanimindan $\sup A \leq \inf B$.