$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ve $\ln n$ dizileri ıraksak olmalarına rağmen $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$ dizisinin yakınsak olduğunu ve limitinin de $(0,1)$ aralığında olduğunu gösteriniz

Question

bir soru ile ilgili http://www.matkafasi.com/2246/lim_-rightarrow-infty-frac-cdots-frac-limitini-hesaplayiniz

Answer 1

Aslında burada sorulan sorudan çok daha genel bir teoremi kantlayabiliriz.

Teorem

$f:\left[ 1,\infty \right) \rightarrow \left( 0,\infty \right)$ sürekli
ve kesin azalan bir fonksiyon olsun.

$b_{n}=\sum_{k=1}^{n}f\left( k\right)-\int_{1}^{n}f\left( x\right) dx$

dizisi kesin azalan ve yakınsaktır. $C_{f}$ bu dizinin limiti ise $a=\int_{1}^{2}\left( f\left( 1\right) -f\left( x\right) \right) dx$ olmak
üzere

$\ 0<a\leq C_{f}<f\left(1\right)$ dir.

Bu teoremin kanıtı ve çok daha fazlası Tom M. Apostol'un şu
makalesinde bulunabilir. "An Elementary View of Euler's Summation Formula,
The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 5 (May, 1999), pp.
409-418". Burada yazıldığı şekliyle teoremin kanıtı çok kısa olduğundan Türkçe bir kaynak olsun diye kanıtı aşağıda veriyorum.

Öncelikle $f$ kesin azalan olduğundan $1<x\leq 2$ için $f\left( 1\right) -f\left( x\right) >0$ dır. Ayrıca $f$ sürekli olduğundan $a>0$

elde edilir. Benzer şekilde $1\leq k\leq n$ ise
$$\int_{k-1}^{k}\left( f\left( k-1\right) -f\left( x\right) \right) dx>0$$
olur. Buradan
$$f\left( k-1\right) >\int_{k-1}^{k}f\left( x\right) dx$$
elde edilir. $f\left( 1\right) =\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx+\int_{1}^{2}\left( f\left( 1\right) -f\left( x\right) \right) dx=\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx+a$ olduğunu dikkate alacak olursak
$$f\left( 1\right) +f\left( 2\right) +\cdots +f\left( n-1\right) +f\left( n\right) >$$
$$a+\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx+\int_{2}^{3}f\left( x\right) dx+\cdots +\int_{n-1}^{n}f\left( x\right) dx+f\left( n\right) =$$

$$a+\int_{1}^{n}f\left( x\right) dx+f\left( n\right)$$
olduğundan
$$b_{n}>a+f\left( n\right) >a$$

dır.  Ayrıca 

$$b_{n}-b_{n+1}>-f\left( n+1\right) +\int_{n}^{n+1}f\left( n+1\right) dx=0$$
olduğundan $\left( b_{n}\right)$ azalandır.

O halde $\left( b_{n}\right)$ yakınsak ve $a\leq C_{f}=\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}$ dir.

$$f\left( k\right) <\int_{k-1}^{k}f\left( x\right) dx$$
olduğundan

$$f\left( 2\right) +f\left( 3\right) +\cdots +f\left( n\right) <$$
$$\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx+\int_{2}^{3}f\left( x\right) dx+\cdots +\int_{n-1}^{n}f\left( x\right) dx+f\left( n\right) =\int_{1}^{n}f\left( x\right) dx$$
olduğundan
$$b_{n}<f\left( 1\right)$$
dir.

Comments

Hocam elinize sağlık

Answer 2

Sorunun çözümü çok kaynakta bulunabilir. Türkçe bir kaynak: "Matematik Dünyası", 2012, No:1; sf.31-32