$P(\mathbb{N})$ ile $\mathbb{R}$ arasında bir eşleme nasıl kurulabilir?

Question

$P(\mathbb{N})$: $\mathbb{N}$ kümesinin kuvvet kümesi (power set), eşleme: bijection 

Alakalı bir soru için: Sonsuz kavramını açıklayınız. Sayılabilir sonsuz ne demektir? Sonsuzlar arasında bir sıralama var mıdır?

Answer 1

Verilen bir $A \subseteq \mathbb{N}$ için $x_A=\Sigma_{n \in \mathbb{N}}\ \frac{\chi_A(n)}{3^{n+1}}$ olarak tanımlayalım öyle ki $\chi_A(n)$ eğer $n \in A$ ise $2$, değilse $0$ değerini alan iki değerli fonksiyon olsun.

Bu durumda $A \mapsto x_A$ fonksiyonu $P(\mathbb{N})$'den $[0,1]$ aralığına birebir bir fonksiyondur.

Verilen bir $x \in [0,1]$ için $x$ sayısını $0.a_0 a_1 ...$ olacak şekilde ikilik sisteme göre yazalım. Tabii ki bazı durumlarda $x$'in ikilik sistemde iki tane temsili olacaktır, $1/2=(0.1)_2$ ve $1/2=(0.01111...)_2$ gibi. Böyle durumlarda bu temsillerden herhangi birini seçelim (mesela hep devreden temsili seçelim).

Eğer $x=\Sigma_{n \in \mathbb{N}}\ \frac{a_n}{2^{n+1}}$ ise $x \mapsto \{n \in \mathbb{N}: a_n=1\}$ olarak tanımlanan fonksiyon $[0,1]$ aralığından $P(\mathbb{N})$'ye birebir bir fonksiyondur.

Bu durumda Cantor-Schröder-Bernstein teoremi gereği $P(\mathbb{N})$ ile $[0,1]$ arasında bir eşleme vardır. $[0,1]$ ile $\mathbb{R}$ arasında bir eşleme olduğu da okuyucuya egzersiz! (Gene Cantor-Schröder-Bernstein teoremi ile gösterebilirsiniz ya da açık açık bir tane de yazabilirsiniz $(0,1)$ ile $\mathbb{R}$ arasındaki eşlemeleri kullanarak.)