Bunlardan hangisi $\Bbb Z_{30}$'un maximal idealidir?

Question

$<\bar 0>$,$<\bar 8>$,$<\overline{15}>$,$<\bar 6>$ ve $<\bar 3>$

Burada  $\Bbb Z_{30}$'un bölüm halkarının cisim olup olmadigina bakmıştım

 $\Bbb Z_{30}/<\bar 0> \cong\Bbb Z_{30}$  (Z halka oldugundan)

$\Bbb Z_{30}/<\bar 8>\cong\Bbb Z_{2}$  (30,8)=2

$\Bbb Z_{30}/<\overline{15}>\cong\Bbb Z_{15}$

$\Bbb Z_{30}/<\bar 6>\cong\Bbb Z_{6}$

$\Bbb Z_{30}/<\bar 3>\cong\Bbb Z_{3}$

$\Bbb Z_{3}$ ve $\Bbb Z_{2}$ cisim oldugundan $\Bbb Z_{3}$ ve $\Bbb Z_{8}$ maximaldir dedim ama bu yanlis cünkü asal idealler $\Bbb Z_{n}$ için n in pozitif asal bölenlerinin ürettigi kümelermiş. yani $\Bbb Z_{8}$ maximal degil.

sorum; yukarıdaki gibi izomorfizma neden oluşturamam? oluşturabilirsem o zaman izomorfizma maximal idealligi tasimaz mı?

Answer 1

İpucu: $30$ ile aralarında asal olanlar halkanın tamamı ve en büyük ortak böleni asal olanlar maksimal idealleridir.

Comments

O zaman yukarıdaki izomorfizmaları oluşturuş şeklim ve yorumlamam doğru $\Bbb Z_{8}$ve$\Bbb Z_{8}$ maximal aynı zamanda asal ideal

---

hocam rica etsem sunu cevaplayabilir misiniz

$\Bbb Z_m/<\bar n>$ ,  $\Bbb Z_d$ ye izomorf mudur? $(m,n)=d$ o.ü

---

Evet, öyle. Yorumlarda yazdıkların doğru.

---

ama $<\bar 8> \subsetneq<\bar 2>$ oldugundan maximal olamaması gerekmez mi  $<\bar 8>$ in

---

Verilen ideallerin ikisi de eşit.

---

anladım hocam $<\bar 8>=8,16,24,2,10,18,26,4,12,20,28,6,14,22,0,$ şeklinde oldugundan. normalde o zaman bu grupların alınmasına gerek yok ama bu soru için iki cevap var. Son olarak mesela Z_30 da <2> ye eşit üreteçleri bulmanın yolu yoktur degil mi? Z_30 un içinde <2> nin mertebesi 15. 15 mertebeye sahip kaç eleman var sorusunun cevabı galiba 8. ama bu 8 eleman hangileri onlari bulmak mümkün mü? 

edit: galiba 15 ile aralarında asal olan sayılar

Teşekkürler. Iyi geceler :)

---

$(30,k)=2$ olanlar. Bu sayı da $\phi(15)=\phi(5)\phi(3)=8$ yapar. Hepsi de $15$ ile aralarında asal olan sayıların iki ile çarpımıdır.

Ayrıca evet, iki cevap var.

Answer 2

Sercan yanıtına ek olarak bir de şöyle düşünülebilir.

Kanımca lisans cebir eğitiminde her öğrencinin bilmesi gereken şöyle bir teorem var: $G$ bir grup $H$ bir normal altgrup olsun. Bu durumda $G/H$'nin altgruplarıyla $H$'yi içeren altgruplar arasında içerme ilişkisini koruyan bir eşleme vardır. Bu eşleme de şudur:

$K$ eğer $H$'yi içeren bir altgrup ise $K$'ya denk gelen $G/H$'nin altgrubu doğal olarak $K/H$'dir. Eğer $\theta\subseteq G/H$ bir altgrup ise bu sefer de $H$'yi içeren ve buna denk gelecek grup şu olacaktır: $$\{g\in G:\overline{g}\in\theta\}$$

İlişki koruyan bir eşleme olduğu için aslında latticeler  (ızgaralar, örgüler vs) birbirine denk demek. Yani $H$'yi içeren maksimal altgruba denk gelen $G/H$'nin altgrubu da maksimaldir. Minimallik falan filan için de benzer özellikler sağlanır. Üstelik bu yukarıda gruplar için anlattığım nane grup yerine halka, altgrup yerine de ideal yazınca aynen sağlanır.

O halde sorunun yanıtı şu olarak: $30$ idealini içeren maksimal ideallerin $\mathbb{Z}/30$ içindeki görüntüleri maksimaldir. Mesela $2$ hem maksimal hem de $30$ idealini içeriyor. O halde $$2\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$$ ideali $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ halkasının maksimal bir idealidir.