Sonlu ve değişmeli her $G$ grubu, Sylow altgruplarının doğrudan çarpımları ile eş yapılıdır.

Question

doğrudan çarpım: direct product, eş yapı: isomorphism.

Answer 1

Bu daha genel olarak nilpotent gruplar için doğru, dolayısı ile değişmeli gruplar için de doğru. İnternette birçok yerde bununla ilgili şeyler bulabilirsiniz. Mesela aşağıdaki kaynakta Theorem 55'de tam olarak istediğiniz ispat var

http://wwwf.imperial.ac.uk/~jbritnel/Teaching/GTnotes5.pdf

Kısaca fikir şu: Bütün Sylow altgruplarının normal olduklarını kabul edelim. Bu değişmeli grupta tabii ki doğru olacaktır. G'nin bütün Sylow altgruplarını $P_1,...,P_n$ diye listeleyelim. Tümevarım ile her k için ( $1\leq k \leq n$ olacak şekilde)

$P_1\cdots P_k$ çarpımının $P_1\times \cdots \times P_k$

doğrudan çarpımı ile eşyapılı olduğunu göstermek gerekiyor. Bu önerme k=1 için doğru. Bir k için doğru kabul edip k+1 için göstermek gerekiyor. Anahtar gözlem şu: $P_1\cdots P_k$ ile $P_{k+1}$ grubunun eleman sayıları aralarında asal. Bu iki grup da G'de normal. Dolayısı ile sonuç şu basit lemma'dan geliyor: G bir sonlu grup, H ve K onun normal altgrupları olsun. H ve K nın eleman sayıları aralarında asal ise HK ile $H\times K$ eşyapılıdır. Bu lemma'nın ispatı da çok basit. $H \cap K$ altgrubunun bir elemanlı grup olduğunu görmeniz yeterli.