Processing math: 80%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
927 kez görüntülendi
özyapı dönüşümü = otomorfizma = G'den kendisine giden birebir, örten, çarpmaya saygı duyan fonksiyon.
Akademik Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından  | 927 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Eğer G abelyen bir grup değilse G'nin merkezi Z(G) içinde olmayan en az bir tane eleman olacaktır. Böyle bir g elemanının tanımladığı xgxg1 özyapı dönüşümü birim dönüşümden farklıdır. Yani sav abelyen olmayan bütün gruplar için doğrudur.

O halde G grubunun abelyen olduğunu var sayalım. Bu durumda xx1 fonksiyonu G abelyen olduğu için birebir ve örten bir homomorfizma tanımlar. Eğer G grubunun elemanlarından en az bir tanesinin mertebesi 2'den farklıysa bu fonksiyon birim fonksiyondan farklı bir fonksiyon olacaktır. Yani gösterilmesi gereken tek durum olarak G grubunun abelyen ve bütün elemanlarının mertebesinin 2 olduğu durum kaldı.

O halde G grubunun abelyen olduğunu ve her elemanın mertesinin iki olduğunu varsayalım. G'nin eleman sayısı 2'den fazla olduğu için a1, b1 ve ab şartlarını sağlayan a ve b elemanları vardır. Bu durumda a ile b elemanlarının yerlerini değiştiren ve diğer elemanları sabit tutan özyapı dönüşümü (bu neden bir özyapı dönüşümüdür?) birim fonksiyondan farklı olacaktır.
(3.7k puan) tarafından 
Son cümle yanlış ama ona benzer bir şey doğru!
Evet yanlis. Eger xy=a esitligini ve xa,b ve ya,b sartlarini saglayan x ve y elemanlari varsa

f(xy)=f(a)=b

ve

f(x)f(y)=xy=a olur. Bu da ilk cevabin son durumunda tanimlanan fonksiyonun bir homomorfizma olmadigini gosterir.
Yoksa ne olacak?.. Daha kolayı: Eğer x1,a,b,ab ise axa,b olur ve dolayısıyla ax=f(ax)=f(a)f(x)=bx ve a=b olur. Çelişki.

Kanıtı tamamlamak için grubun iki elemanlı cisim üzerine en az 2 boyutlu bir vektör uzayı olduğunu kullanmak lazım. Bir tabanın iki elemanını değiştiren ama diğerlerini sabitleyen lineer transformasyon işi görür.
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,067,512 kullanıcı