$\int_0^1\:\ln(u)\ln(1-u)\:du$ integralini çözün

Question

$$\large\int_0^1\:\ln(u)\ln(1-u)\:du$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz:

$$\int_0^1\ln(u)\ln(1-u)\:du$$

İntegrali beta fonksiyonunun kısmi türevleri ile yazabiliriz.

$$B(x,y)=\int_0^1\:u^{x-1}\:(1-u)^{y-1}\:du$$

$$\frac{\partial^{2}}{\partial{x}\partial{y}}\:B(x,y)=\int_0^1\:u^{x-1}\:(1-u)^{y-1}\ln(u)\ln(1-u)\:du$$

$x,y=1$ için değerini bulalım.

$$\lim\limits_{x,y\to1}\frac{\partial^{2}}{\partial{x}\partial{y}}\:B(x,y)=\int_0^1\:\ln(u)\ln(1-u)\:du$$

Beta fonksiyonun kısmi türevleri için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.Bunun ispatı için buraya bakılabilir.Burada $\psi(x)$ digama , $\psi_1(x)$ trigama fonksiyonudur.

$$\frac{\partial^{2}}{\partial{x}\partial{y}}\:B(x,y)=B(x,y)\Big(\big(\psi(x)-\psi(x+y)\big)\big(\psi(y)-\psi(x+y)\big)-\psi_1(x+y)\Big)$$

$x,y$ yerine $1$ koyalım.

$$\Big(\psi(1)-\psi(2)\Big)^2-\psi_1(2)$$

$\psi(1)=-\gamma$ , $\psi(x+1)=\frac{1}{x}+\psi(x)$ ve $\psi_1(2)=\frac{\pi^2}{6}-1$ eşitliklerini kullanalım.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^1\ln(u)\ln(1-u)\:du=2-\frac{\pi^2}{6}\approx0.355065}}$$