Question

$$\Xi_1(n,2)=\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\Xi_1(n,2)=\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx$$

Logaritmik integraller ile ilgili aşağıdaki eşitik yazılabilir.

$$\Xi_1(n,m)=\Xi(n,m)+\Xi_2(n,m)$$

$$\underbrace{\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx}_{\Xi_1(n,2)}=\underbrace{\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx}_{\Xi(n,2)}+\underbrace{\int_1^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx}_{\Xi_2(n,2)}$$

Sağdaki integrallerin ispatları için buraya ve buraya bakabilirsiniz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\Xi_1(n,2)=\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx=\big(1+(-1)^n)\Gamma(n+1)\beta(n+1)}}$$