$\iint\limits_\mathbb{K}\:x^{\alpha-1}\:y^{\beta-1}\:d\mathbb{K}$ integralini çözün

Question

$$\large\iint\limits_\mathbb{K}\:x^{\alpha-1}\:y^{\beta-1}\:d\:\mathbb{K}$$

$\mathbb{K}:x^2+y^2\le1$   ve   $x,y\geq0$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\iint\limits_\mathbb{K}\:x^{\alpha-1}\:y^{\beta-1}\:d\:\mathbb{K}$$

$\mathbb{K}:x^2+y^2\le1$   ve   $x,y\geq0$

Sınır değerlerini yazalım.

$$\int_0^1\:\int_0^{\sqrt{1-y^2}}\:x^{\alpha-1}\:y^{\beta-1}\:dx\:dy$$

İçerideki integrali bulalım.

$$\int_0^1\:\underbrace{\Bigg(\int_0^{\sqrt{1-y^2}}\:x^{\alpha-1}\:dx\Bigg)}_{\large\big[\large\frac{x^\alpha}{\alpha}\big]_0^\sqrt{1-y^2}}\:y^{\beta-1}\:dy$$

$$\frac{1}{\alpha}\int_0^1\:(1-y^2)^{\frac{\alpha}{2}}\:y^{\beta-1}\:dy$$

$1-y^2=\omega$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\frac{1}{2\alpha}\int_0^1\:\omega^{\frac{\alpha}{2}}\:(1-\omega)^{\frac{\beta}{2}-1}\:d\omega$$

İntegrali beta fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\frac{1}{2\alpha}\underbrace{\int_0^1\:\omega^{\frac{\alpha}{2}}\:(1-\omega)^{\frac{\beta}{2}-1}\:d\omega}_{\large\:B\:\big(\frac{\alpha}{2}+1,\frac{\beta}{2}\big)}$$

Beta fonksiyonunu gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\frac{1}{2\alpha}\frac{\Gamma\big(\frac{\alpha}{2}+1\big)\:\Gamma\big(\frac{\beta}{2}\big)}{\Gamma\big(\frac{\alpha+\beta}{2}+1\big)}$$

Sadeleştirelim.

$$\frac{\Gamma\big(\frac{\alpha}{2}\big)\:\Gamma\big(\frac{\beta}{2}\big)}{4\:\Gamma\big(\frac{\alpha+\beta}{2}+1\big)}$$

$$\large\color{#C00000}{\boxed{\iint\limits_\mathbb{K}\:x^{\alpha-1}\:y^{\beta-1}\:d\:\mathbb{K}=\frac{\Gamma\big(\frac{\alpha}{2}\big)\:\Gamma\big(\frac{\beta}{2}\big)}{4\:\Gamma\big(\frac{\alpha+\beta}{2}+1\big)}}}$$

Comments

$4$ parçaya ayırabiliyor muyuz? Fonksiyonun simetrisi yok gibi.

---

Önceki soruda neyi yanlış yaptığımı şimdi anladım yorumunuz sayesinde :)

İntegrali $x^2+y^2=1$ şeklinde aldığımızda cevap $0$ çıkıyor.(Önceki soru içinde aynı şey)

İki soruyuda düzeltiyorum şimdi.

---

Sıfır olmak zorunda değil, simetri olmasa $4$ ile çarpamayız sadece. Mesela içerdeki fonksiyon $x^2y^2$ olsa hem simetri olur, hem pozitif değer alır.

---

Evet orası da doğru.Soruyu $x,y\geq0$ olarak soralım.Böylece üstlerin tek , çift olması sorun yaratmaz.

Answer 2

İntegral :

$$\iint\limits_\mathbb{K}\:x^{\alpha-1}\:y^{\beta-1}\:d\:\mathbb{K}\\\mathbb{K}:x^2+y^2\le1\:\:\:,\:\:\:x,y\geq0$$

Yeni değişkenlerimiz :

$$u=x^2$$

$$v=y^2$$

İntegralin yeni hali :

$$\iint\limits_{\mathbb{L}}\:u^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}}\:v^{\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2}}\:\det\:J(u,v)\:d\mathbb{L}$$

Jakobian matrisinin değerini bulalım.

$$J(u,v)=\begin{bmatrix}\frac{\partial\:u}{\partial\:x}&\frac{\partial\:u}{\partial\:y}\\\frac{\partial\:v}{\partial\:x}&\frac{\partial\:v}{\partial\:y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2\sqrt{u}}&0\\0&\frac{1}{2\sqrt{v}}\end{bmatrix}$$

$$\det\:J(u,v)=\frac{1}{4\sqrt{u\:v}}$$

$$\color{#A00000}{\frac{1}{4}\iint\limits_{\mathbb{L}}\:u^{\frac{\alpha}{2}-1}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:\:d\mathbb{L}\\\mathbb{L}:u+v\leq1\:\:\:,\:\:\:u,v\geq0}$$

Sınır değerlerini yazalım.

$$\frac{1}{4}\int_0^1\int_0^{1-v}\:u^{\frac{\alpha}{2}-1}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:du\:dv$$

İlk integrali çözelim.

$$\frac{1}{4}\int_0^1\underbrace{\bigg(\int_0^{1-v}\:u^{\frac{\alpha}{2}-1}\:du\bigg)}_{\large\big[\frac{2}{\alpha}u^{\frac{\alpha}{2}}\big]_0^{1-v}\:\to\:\frac{2}{\alpha}(1-v)^{\frac{\alpha}{2}}}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:dv$$

$$\frac{1}{4}\frac{2}{\alpha}\int_0^1\:(1-v)^{\frac{\alpha}{2}}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:dv$$

İntegrali beta ve gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\frac{1}{4}\frac{2}{\alpha}\underbrace{\int_0^1\:(1-v)^{\frac{\alpha}{2}}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:dv}_{\large\:B\bigg(\frac{\alpha}{2}+1,\frac{\beta}{2}\bigg)\:\to\:\frac{\Gamma\big(\frac{\alpha}{2}+1\big)\Gamma\big(\frac{\beta}{2}\big)}{\Gamma\big(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+1\big)}}$$

$$\frac{1}{4}\frac{2}{\alpha}\frac{\Gamma\big(\frac{\alpha}{2}+1\big)\Gamma\big(\frac{\beta}{2}\big)}{\Gamma\big(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+1\big)}$$

Sadeleştirelim.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\iint\limits_\mathbb{K}\:x^{\alpha-1}\:y^{\beta-1}\:d\:\mathbb{K}=\frac{\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{\beta}{2}\bigg)}{4\:\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+1\bigg)}\\\mathbb{K}:x^2+y^2\le1\:\:\:,\:\:\:x,y\geq0}}$$