Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

pq kesrinin (p,qN, p,q>0 aralarında asal) bir tabana göre açılımının periyodunun, tabana göre değiştiğini (bir örnekle) gösterin ve periyot için tabandan bağımsız bir (p ve/veya q ya bağlı) üst sınır bulun.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 1.3k kez görüntülendi

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

ilk olarak: sayinin tam kismini atip 0p<q oldugunu kabul edelim. 

ikinci olarak: (10,q)=1 kabul edelim, degise o kismi yok edelim. Ornegin pq=245 ise pq=110(49) olarak yazip, artik islemimize 49 ile devam edelim. Cunku 110 demek sadece otelemek demek.

Eger surekli bu iki islemi yaparsak ve q=1 gelirse (yukaridaki ornekten yola cikarak) sayimiz devirli olmaz ve eger q1 ise q sayisi bir adet 10n1 sayisini boler ve en kucuk n sayisi bize devir periyodunu verir. 

Ornek olarak: 206165'yi inceleyelim. 

1) 206165=1+41165,
2) 41165=1108233,
1)8233=2+1633,
Son: 1633=4899.

Yani: 206165=1+41165=1+1108233=1+110(2+1633)=1+210+48990=1,248484848.


Eger tabanimiz 10 degil ise ayni islem gecerli. (taban,q)=1 yapmaya calizacaz ve bir adet tabann1'i boldugunu soyleyecez. (asagidaki ilgili soruya bakilabilir bunun icin.)

(25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
(10,q)=1 ise q sayisi en az bir adet n pozitif tam sayisi icin 10n1'i boler.

Ek olarak da ilgili soruya bakarsaniz ust sinirin q1 oldugunu gorursunuz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir düzeltme: Aşağıdaki  çözüm (taban m olsun) m>q için geçerli.

Sercan ın cevabı güzel ama,  ben  basit bir mantıkla da yapılabileceğini göstermek istedim.

Bunu yıllar önce Matematik Dünyası Dergisinde okuduğumu sanıyorum arşivi taradım ama bulamadım.

Cevap  kolay ve basit:  uzun bölmeyi ve Çekmece Çorap İlkesini (Dirichlet nin İlkesi) kullanıyoruz . 

Bir p (pozitif) tamsayısını bir q pozitif tamsayısına nasıl böldüğümüzü hatırlayalım.  p nin basamakları tüketilip, kalan 0 değilse kalanın sağına  ("yeterince"yi siliyoruz) tek bir 0  ekleyip q dan büyük bir sayı oluşturulur ve bu sayıdan q nun en büyük katı çıkarılıp kalan elde edilir (bu işlem hangi basamak kullanılırsa kullanılsın aynıdır). Bölme algoritmasından dolayı kalan q dan küçüktür. (Kalan 0 ise bölme bitmiştir, bölüm sonlu bir kesirdir. Bu durumla ilgilenmiyoruz) Ve aynı işlemi bu yeni sayı ile yeniden yapıyoruz. Ama, Çekmece çorap İlkesinden,   (0 kalan durumu olmadığını varsayıldığından) q1 tane değişik kalan olabileceğinden, (devirli ise) en çok q adımda daha önceki kalanlardan biri tekrara karşımıza çıkacak ve bundan sonra işlem aynı şekilde tekrar edecektir. Bu söylenenler HER TABANDA geçerlidir. Sonuç: pq kesri,  q dan büyük bir tabanda  (o tabanda devirli ise) periyodu en çok q1 dir .

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Aslinda son kisimdaki yorum ve ilgili soru (ve cevabi) ayni ust siniri vermisti. Soyledigi (p,q)=1 ise en az bir 1nq1 icin p|qn1. Aslinda aynisi degil mi?

ilgili sorudaki cevabima da bakabilirsiniz. Ben ilgili soruyu sorunca ust sinir bu demeyi unutmusum...  

Galiba Sercan da vermiş bu cevabı. Benim gözümden kaçmış.

Önceki Çözüme Ek: 

(Taban m) m<q ise iş bu kadar basit değil, çünki kalanın yanına tek bir 0 yazmak yetmeyebilir o durumda bölüme de 0 yazıldığını (ben unutmuşum) hatırlamak gerekiyor. Bölüm kısmına yazılacak sıfırların sayısının  logmqk dur ( : tam değer, k: kalan) Öyleyse en çok qmk=1logmqk tane 0 (bölüm kısmına) yazılmış olabilir. O zaman periyot en çok  q1+qmk=1logmqk olacaktır. Bu sayı büyük bir olasılıkla en küçük üst sınır değil ama kolay ulaşılıyor. Bu arada aynı sayı (benzer nedenle) virgülden soraki devretmeyen kısmın uzunluğu için de bir üst sınır oluyor sanırım. Bu sayılara   tabandan bağımsız bir üst sınır bulabiliriz 

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu soruyu cevaplayabilmek için bir koşula ihtiyacımız var. Bu koşul ise, çalışacağımız taban a ise (a,q)=1 olması gerektiğidir. Neden böyle bir koşula ihtiyacımız var ? Öncelikle periyod uzunluğuna d diyelim. Biliyoruz ki d tane bölme adımından sonra tekrardan p kalanını elde ederiz. Periyodun kendisine P dersek bunu,

                                                                      p.ad=P.q+p

şeklinde yazabiliriz.

                                                                     p(ad1)=P.q

p ve q aralarında asal olduğundan

                                                                      ad1(modq)

olacaktır. Buradaki d sayısı özel bir sayısıdır. Bu mümkün olan en küçük üstür. Zira ax1(modq) denkliğini sağlayan pek çok sayı var. Eğer a ve q aralarında asal olmazsa, bu denkliği sağlayan x sayıları var olmayabilir. Bu denkliği sağlayan sayılardan birininde ϕ(q) olduğunu biliyoruz. Buradan rahatlıkla dϕ(q) diyebiliriz. Yani (a,q)=1 olmak şartıyla a tabanında p/q rasyonel sayısının devir uzunluğu en fazla ϕ(q) olur. Grup teorisinden biliyoruz ki a tabanında

                                                                      ad1(modq)

denkliğini sağlayan en küçük sayı d ise ak(modq) tabanında bu sayı d/(k,d) olacaktır. Tabanlar arası devir uzunluğunun değiştiğini de bu şekilde göstermiş olduk.

                                                                     

(881 puan) tarafından 

modu göstermek için a\equiv b \pmod{c} yazabilirsin, parantezsiz versiyonu için direk \mod{c} oluyor.

20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,860,590 kullanıcı