$\{x \in \mathbb Q : x < \sqrt 2 \}$ kümesinin rasyonel bir en küçük üst sınırının olmadığını gösterin

Question

$x \in \mathbb Q$ , $\{x \in \mathbb Q : x < \sqrt 2 \}$ kümesinin en küçük üst sınırı olsun...

Comments

$q \in \mathbb Q$ en kucuk rasyonel ust sinir olsun diyelim...Verilen her $\epsilon>0$ icin  $a_\epsilon \in S$ vardir ki $q-a_\epsilon< \epsilon$ olur. Bu da bize her $\epsilon>0$ icin   $$q <a_\epsilon+\epsilon<\sqrt2 +\epsilon$$ oldugunu soyler.  Bu da $$q \le \sqrt 2$$ oldugunu, yani $$q <\sqrt 2$$ oldugunu...

---

Burada $S$ kümesi ne?

---

Verilen kumeyi $S$ olarak adlandirdim. $$S :=\{ x \in \mathbb Q \; : \; x <\sqrt 2 \}.$$

---

Verilen her $\epsilon>0$ için $a_\epsilon\in S$ vardır ki $q-a_\epsilon<\epsilon$ eşitsizliğini ve buna bağlı olarak $q<a_\epsilon+\epsilon<\sqrt 2+\epsilon$ eşitsizliğini nasıl yazdık acaba?

---

ilki en kucuk alt sinirin tanimindan geliyor. ikincisi her $a_\epsilon \in S$ elemaninin $\sqrt 2$'den kucuk olmasindan.

---

Zaten bir rasyonel en küçük üst sınır varsa, doğal olarak $\sqrt 2$ den küçük olması gerekmez mi? Ulaştığımız çelişkiyi anlayamadım?

---

Celiskiye ulasmadim. Sadece kumenin bir elemani olmali dedim. $q$  ile $\sqrt2$ arasinda baska bir rasyonel olmasi celiski verir. 

"Dogal olarak" cogu sav dogru zaten. 

---

$q$ ile $\sqrt 2$ arasında bir rasyonel sayı bulmanın yöntemi var mı Sercan Hocam?

---

$n(\sqrt2-q)>1$ olacak bir poztif tam sayi $n$ vardir. Bu durumda $$q<q+\frac1n<\sqrt2$$ olur.