Bir cismin carpim grubunun sonlu altgrubu

Question

$F$ bis cisim, $G$ de onun carpim grubunun sonlu altgrubu olsun. $G$'nin dongusel oldugunu gosteriniz.

Not olarak: Bunu kullanaraktan, tum sonlu cisimlerin carpim grubunun donguseldir.

Answer 1

Oncelikle sonlu altgrup abelyen oldugu icin $$Z=\bigoplus_{i=1}^k\big(\bigoplus_{j=1}^{k_i} \mathbb{Z}/p^{n_{ij}}_i\mathbb{Z}\big)$$ bicmindedir. Burada $p_i$ler asal ve indeksleri farkliysa farklilar, $n_j>0$. Eger $k_i$ tamsayilarindan en az birisi birden buyukse $Z$ dongusel olamaz ve her $k_i=1$ ise $Z$ donguseldir. O halde, diyelim ki $k_1>1$ olsun. Bu durumda $$\bigoplus_{j=1}^{k_1} \mathbb{Z}/p^{n_{1j}}_1\mathbb{Z}$$ Grubunun eleman sayisi $p_1^{\sum n_{1j}}(\gneq p^{\max{n_{1i}}})$ olur. Ama acik ki $Z$ grubunun elemanlarinin $p^{\max{n_{1i}}}$inci gucleri etkisiz eleman. Yani $Z$nin elemanlarina $F^{\times}$ icinde gelen elamanlar $$f(X)=X^{p^{\max{n_{1i}}}}-1$$ polinomunun koku. Bundan sonrasi polinomun derecesinden fazla koku olmaz bilgisinden cikar, cunku $Z$'nin $f(X)$'in derecesinden fazla elemani var. Celiski.

Comments

Eline saglik. ama galiba iki grup icin de $Z$ ismini kullanmissin.

---

izomorf kopyalar :)

Answer 2

$G$, bir cismin çarpım grubunun sonlu bir altgrubu olsun. Bu durumda $G$ değişmelidir.

Önsav: $k=\text{max}\{\left| g \right| \mid g\in G\}$ olmak üzere, her $g\in G$ için, $|g|$, $k$ sayısını böler.

İspat: $G$ içinden $|h|=k$ olacak şekilde bir $h$ elemanı alalım. Rastgele bir $g\in G$ için, diyelim ki, $|g|$'yi bölen ama $k$'yı bölmeyen bir $p$ asalı var olsun. Kolayca gösterilebilir ki bu durumda $G$ içinde mertebesi $p$ olan bir $h^{'}$ elemanı vardır. $(p,k)=1$ olduğundan, $$\begin{equation} |h^{'}h|=pk>k \end{equation}$$ eşitsizliği sağlanır ki bu bir çelişkidir. Demek ki $|g|$'yi bölen her $p$ asalı $k$'yı da bölmek zorunda. Şimdi de varsayalım ki bir $q$ asalı, $|g|$ içinde $m$ kere, $k$ içinde ise $n$ kere var olsun ve $m>n$ olsun, yani bu $q$ asalı, $|g|$ içinde $k$'nın içinde olduğundan daha fazla olsun. Yine kolayca gösterilebilir ki $G$ içinde mertebesi $q^m$ olan bir $x$ elemanı ve mertebesi $k/q^n$ olan bir $y$ elemanı vardır. $(q^m,k/q^n)=1$ olduğundan $$\begin{equation} |xy|=kq^{m-n}>k \end{equation}$$ eşitsizliği sağlanır ki bu da bir çelişkidir. Demek ki $|g|$'yi bölen her asal kuvveti, $k$'yı da böler. Sonuç olarak, $|g|$, $k$'yı böler.

Önsava göre, her $g\in G$ için $g^k=1$ koşulu sağlanmalı. Demek ki $G$ grubunun her elemanı, $X^k-1$ polinomunun bir kökü. Bu polinomun en fazla $k$ tane kökü olacağından, $\left| G \right|\leq k$. Diğer yandan Lagrange Teoremi'ne göre $k\leq \left| G \right|$. Bu durumda $\left| G \right|=k$ elde edilir ki bu da $G$ içinde mertebesi $k$ olan bir eleman olduğunu gösterir. Yani $G$ döngüsel.

Comments

$k$ ile $G$'nin elemanlarının mertebelerinin maksimumunu gösteriyorsun. Mesela $k=7$ ise neden mertebesi beş olan bir eleman olamıyor. Onu da açıklar mısın?

---

Hocam neyi kastettiğinizi tam olarak anlayamadım ama belki şu ifade sorunuzun cevabıdır: $G$ grubunun içinden alınan bir elemanın ürettiği alt gruba bakalım. Lagrange Savına göre bu alt grubun mertebesi  $G$ grubunun mertebesini bölmeli. O halde $k=7$ ise mertebesi  $5$ olan bir eleman olamaz.

---

Şunu diyorsun: $k= max\{|g|:g\in G\}$. Buradan da her elamanın $X^k-1$ polinomunun kökü olduğunu söylüyorsun. $k=|G|$ olsa doğruluğu aşikar ama bu durumda neden aşikar? Yani nihayetinde öyle olmak zorunda da..

---

Aşikar diye geçtiğim bu yer meğer başlı başlına bir savmış. Hemen düzenliyorum hocam, teşekkürler dikkatiniz için.

---

p-dongusel parcalarina ayirirsan cok daha kolay cikiyor. oylesini ekledim