$(X,d)$ metrik uzayı ayrılabilen olsun. Bu durumda sayılabilir ve yoğun bir $A$ alt cümlesi vardır. Buradan
$B=\{D(a,r):a\in A,r \in \mathbb{Q^+}\}$
sınıfı sayılabilirdir.
Şimdi $B$ sınıfının bir baz olduğunu gösterelim. $(X,d)$ metrik uzayında açık olan bir $G$ cümlesi ile $x\in G$ elemanı verilsin. Metrik uzayında açık disklerin sınıfı bir baz olduğundan $D(x,\epsilon)\subseteq G$ olacak şekilde bir $\epsilon >0$ sayısı vardır. Buradan $A$ alt cümlesi $X$ de yoğun olup $D(x,\frac{\epsilon}{3})\cap A \neq \emptyset$ olacağından $d(a_0,x)<\frac{\epsilon}{3}$ olacak şekilde bir $a_0 \in A$ vardır. Şimdi $\frac{1}{3}\epsilon <r_0<\frac{2}{3}\epsilon$ olacak şekilde bir $r_0\in \mathbb{Q}$ seçelim. Buradan
$D(a_0,r_0)\subseteq D(x,\epsilon)$
dir. Çünkü bir $y\in D(a_0,r_0) $ için $d(a_0,y)<r_0$ ve de
$d(y,x) \leq d(y,a_0)+d(a_0,x)<r_0+\frac{1}{3}\epsilon< \frac{2}{3}\epsilon+\frac{1}{3}\epsilon=\epsilon$
dir. O halde $x\in D(a_0,r_0)\subseteq G$ dır. Bundan dolayı $B$ sınıfı bir bazdır. Yani $(X,d)$ metrik uzayı ikinci sayılabilir uzaydır.
Bazı tanımlar:
Metrik uzay: $X$ boştan farklı bir cümle olmak üzere aşağıdaki şartları sağlayan reel değerli bir
$d:X\times X \rightarrow \mathbb{R}$
fonksiyonuna bir metrik, $(X,d)$ ikilisine de bir metrik uzay denir.
$i$. $d(x,y)=0 \iff x=y$
$ii$. $\forall x,y \in X$ için $d(x,y)=d(y,x)$ dir.
$iii$. $\forall x,y,z \in X$ için $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ dir.
Ayrılabilen uzay: $(X, \tau)$ bir topolojik uzay olsun. Eğer $\bar{A}=X$ olacak şekilde sayılabilir bir $A\subseteq X$ alt cümlesi varsa bu uzaya ayrılabilir bir uzay denir.
İkinci sayılabilir uzay: $(X,\tau)$ bir topolojik uzay olsun. Eğer bu uzayın sayılabilir bir bazı varsa bu uzaya ikinci sayılabilir bir uzay denir.