Ayrilabilir metrik uzaylari ikinci sayilabilendir.

Question

Gosteriniz: Ayrilabilir (seperable) metrik uzaylari ikinci sayilabilendir. (second countable.)

Answer 1

$(X,d)$ metrik uzayı ayrılabilen olsun. Bu durumda sayılabilir ve yoğun bir $A$ alt cümlesi vardır. Buradan 

                           $B=\{D(a,r):a\in A,r \in \mathbb{Q^+}\}$ 

sınıfı sayılabilirdir.

 Şimdi $B$ sınıfının bir baz olduğunu gösterelim. $(X,d)$ metrik uzayında açık olan bir $G$ cümlesi ile $x\in G$ elemanı verilsin. Metrik uzayında açık disklerin sınıfı bir baz olduğundan $D(x,\epsilon)\subseteq G$ olacak şekilde bir $\epsilon >0$ sayısı vardır. Buradan $A$ alt cümlesi $X$ de yoğun olup $D(x,\frac{\epsilon}{3})\cap A \neq \emptyset$ olacağından $d(a_0,x)<\frac{\epsilon}{3}$ olacak şekilde bir $a_0 \in A$ vardır. Şimdi $\frac{1}{3}\epsilon <r_0<\frac{2}{3}\epsilon$ olacak şekilde bir $r_0\in \mathbb{Q}$ seçelim. Buradan

                            $D(a_0,r_0)\subseteq D(x,\epsilon)$

dir. Çünkü bir $y\in D(a_0,r_0)$ için $d(a_0,y)<r_0$ ve de

                  $d(y,x) \leq d(y,a_0)+d(a_0,x)<r_0+\frac{1}{3}\epsilon< \frac{2}{3}\epsilon+\frac{1}{3}\epsilon=\epsilon$

dir. O halde $x\in D(a_0,r_0)\subseteq G$ dır. Bundan dolayı $B$ sınıfı bir bazdır. Yani $(X,d)$ metrik uzayı ikinci sayılabilir uzaydır.

Bazı tanımlar:

Metrik uzay: $X$ boştan farklı bir cümle olmak üzere aşağıdaki şartları sağlayan reel değerli bir

         $d:X\times X \rightarrow \mathbb{R}$

fonksiyonuna bir metrik, $(X,d)$ ikilisine de bir metrik uzay denir.

 $i$. $d(x,y)=0 \iff  x=y$

 $ii$. $\forall x,y \in X$ için $d(x,y)=d(y,x)$ dir.

 $iii$. $\forall x,y,z \in X$ için $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ dir.

Ayrılabilen uzay: $(X, \tau)$ bir topolojik uzay olsun. Eğer  $\bar{A}=X$ olacak şekilde sayılabilir bir $A\subseteq X$ alt cümlesi varsa bu uzaya ayrılabilir bir uzay denir.

İkinci sayılabilir uzay: $(X,\tau)$ bir topolojik uzay olsun. Eğer bu uzayın sayılabilir bir bazı varsa bu uzaya ikinci sayılabilir bir uzay denir.

Comments

Cümle=küme mi?

---

evet hocam..bir kısım kaynak cümle bir kısımsa küme yi kullanıyor..farkı yok diye biliyorum.. 

---

Vay. Ilk defa duyuyorum Merve hocam. Eyvallah.

---

hocam çok sık karşılaşılan bişey olmayabilir lakin türkçe kaynaklarda özellikle topoloji ve soyut matematik üzerine kaynaklarda görüyorum ben..zamanında soyut matematik alırken azeri bir hocam bu konuda sıkıntı çıkardığını hatırlarım :D derste cümle yi kullanmıştı bir yerde, bir arkadaş da "hocam karıştırdınız galiba küme diyecektiniz" dedi. hoca da "küme demek isteseydim öyle söylerdim, cümle dediysem cümledir" diye paylamıştı..:)