İntegralimiz :
∫∞0sin(xn)dx
xn=u olacak şekilde değişken değiştirelim.
1n∫∞0u1nsin(u)udu
sin(u)u yerine 12i∫−iie−kudk yazabiliriz.
1n∫∞0u1n12i∫−iie−kudkdu
12in∫i−i∫∞0u1ne−kududk
ku=ω olacak şekilde değişken değiştirelim.
12in∫i−ik−1−1n∫∞0ω1ne−ωdωdkİntegralin iç kısmını gama fonksiyonu ile yazabiliriz.
12in∫i−ik−1−1n∫∞0ω1ne−ωdω⏟Γ(1+1n)dkΓ(1+1n)2in∫i−ik−1−1ndkİntegrali çözelim ve sadeleştirelim.
Γ(1+1n)2in[−nk−1n]i−iΓ(1+1n)2in(−ni−1n+n(−i)−1n)Γ(1+1n)2i(−i−1n+(−i)−1n)Γ(1+1n)(−e−iπ2n+eiπ2n2i)⏟sin(π2n)∫∞0sin(xn)dx=Γ(1+1n)sin(π2n)