$\int_0^\infty\:\sin(x^n)\:dx$ integralini çözün

Question

$$\large\int_0^\infty\:\sin(x^n)\:dx$$

İntegralini çözün.

Comments

$n$ nedir? Tam sayi?

---

$n>1$

Soruyu buradan aldım.Sayfanın en sonunda.

---

İlk olarak bu yapılacak sanırım.

$$\large\Im\int_0^\infty\:e^{ix^n}\:dx$$

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^\infty\:\sin(x^n)\:dx$$

$x^n=u$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\frac{1}{n}\int_0^\infty\:u^{\frac{1}{n}}\:\frac{\sin(u)}{u}\:du$$

$\frac{\sin(u)}{u}$ yerine $\frac{1}{2i}\int_i^{-i}e^{-ku}dk$ yazabiliriz.

$$\frac{1}{n}\int_0^\infty\:u^{\frac{1}{n}}\:\frac{1}{2i}\int_i^{-i}e^{-ku}dk\:du$$

$$\frac{1}{2in}\:\:\int_{-i}^i\int_0^\infty\:u^{\frac{1}{n}}e^{-ku}du\:dk$$

$ku=\omega$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\frac{1}{2in}\:\:\int_{-i}^ik^{-1-\frac{1}{n}}\int_0^\infty\:\omega^{\frac{1}{n}}e^{-\omega}d\omega\:dk$$
İntegralin iç kısmını gama fonksiyonu ile yazabiliriz.
$$\frac{1}{2in}\:\:\int_{-i}^ik^{-1-\frac{1}{n}}\underbrace{\int_0^\infty\:\omega^{\frac{1}{n}}e^{-\omega}d\omega}_{\large\Gamma\big(1+\frac{1}{n}\big)}\:dk$$
$$\frac{\Gamma\big(1+\frac{1}{n}\big)}{2in}\:\:\int_{-i}^ik^{-1-\frac{1}{n}}dk$$
İntegrali çözelim ve sadeleştirelim.
$$\frac{\Gamma\big(1+\frac{1}{n}\big)}{2in}\bigg[-nk^{-\frac{1}{n}}\bigg]_{-i}^i$$
$$\frac{\Gamma\big(1+\frac{1}{n}\big)}{2in}\bigg(-ni^{-\frac{1}{n}}+n(-i)^{-\frac{1}{n}}\bigg)$$
$$\frac{\Gamma\big(1+\frac{1}{n}\big)}{2i}\bigg(-i^{-\frac{1}{n}}+(-i)^{-\frac{1}{n}}\bigg)$$
$$\Gamma\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)\underbrace{\Bigg(\frac{-e^{-\frac{i\pi}{2n}}+e^{\frac{i\pi}{2n}}}{2i}\Bigg)}_{\large sin\big(\frac{\pi}{2n}\big)}$$
$$\large\color{red}{\boxed{\int_0^\infty\:\sin(x^n)\:dx=\Gamma\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)sin\bigg(\frac{\pi}{2n}\bigg)}}$$