Fonksiyonun en geniş tanım kümesi $$\mathbb{R}\backslash \{0,1\}$$ dır. Yani $f$ fonksiyonu $x=0$ ve $x=1$ noktasında tanımlı değildir. Fonksiyonun tanımlı olmadığı bir noktada sürekliliğinden ya da süreksizliğinden bahsedilemez. $x=0$ veya $x=1$ noktasında $f$ fonksiyonu yüreklidir ya da yüreksizdir demek ne kadar anlamsız ise süreklidir ya da süreksizdir demek de o kadar anlamsızdır. Fonksiyon tanım kümesindeki her noktada süreklidir. Fonksiyonun süreksiz olduğu bir nokta YOKTUR. Bir de şu ilaveleri yapabiliriz.
$$h(x)=\frac{x}{x-1}$$
kuralı ile verilen
$$h:\mathbb{R}\backslash \{1\}\rightarrow \mathbb{R}$$
fonksiyonu süreklidir $\ldots (1)$
$$g(x)=3^x$$
kuralı ile verilen $$g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$
fonksiyonu süreklidir $\ldots (2)$
$$(1),(2)\Rightarrow (g\circ h)(x)=g(f(x))=3^{\frac{x}{x-1}}$$
kuralı ile verilen
$$g\circ h:\mathbb{R}\backslash \{1\}\rightarrow \mathbb{R}$$
fonksiyonu süreklidir $\ldots (3)$
$$m(x)=x-1$$
kuralı ile verilen $$m:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$
fonksiyonu süreklidir $\ldots (4)$
$$(3),(4)\Rightarrow (m\circ (g\circ h))(x)=m(g\circ h)(x)=3^{\frac{x}{x-1}}-1$$
kuralı ile verilen $$m\circ g\circ h :\mathbb{R}\backslash \{1\}\rightarrow \mathbb{R}$$
fonksiyonu süreklidir $\ldots (5)$
$$n(x)=\mid x-1\mid$$ kuralı ile verilen $$n:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$
fonksiyonu süreklidir $\ldots (6)$
$$m\circ h\circ g :\mathbb{R}\backslash \{1\}\rightarrow \mathbb{R}$$
sürekli ve
$$n:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$
sürekli olduğundan
$$f(x)=\frac{n(x)}{(m\circ h\circ g)(x)}=\frac{\mid x-1 \mid }{3^{\frac{x}{x-1}}-1}$$
kuralı ile verilen
$$f:(\mathbb{R}\backslash \{1\})\backslash \{x\mid (m\circ g\circ h)(x)=0\}\rightarrow \mathbb{R}$$
yani
$$f:\mathbb{R}\backslash \{0,1\} \rightarrow \mathbb{R}$$
fonksiyonu süreklidir.