Süreksizlik

Question

$f\left( x\right) =\dfrac {\left| 1-x\right| } {3^{\frac {x} {x-1}}-1}$

fonksiyonunun süreksizlik noktalarını bulunuz. Süreksizlik türünü belirleyiniz.

Comments

paydadaki ifade 3 üzeri x/x-1. tam anlaşılmıyor

Answer 1

pay kısmı mutlak değer olduğundan iki farklı limit çıkar sıçrama süreksizliği var . Hatalarım varsa affola

Comments

Fonksiyonun en geniş tanım kümesi $$\mathbb{R}\backslash \{0,1\}$$ dır. Yani $f$ fonksiyonu $x=0$ ve $x=1$ noktasında tanımlı değildir. Fonksiyonun tanımlı olmadığı bir noktada sürekliliğinden ya da süreksizliğinden bahsedilemez. $x=0$ noktasında $f$ fonksiyonu yüreklidir ya da yüreksizdir demek ne kadar anlamsız ise süreklidir ya da süreksizdir demek de o kadar anlamsızdır.

---

$x=1$ olabilir mi?

Answer 2

Fonksiyonun en geniş tanım kümesi $$\mathbb{R}\backslash \{0,1\}$$ dır. Yani $f$ fonksiyonu $x=0$ ve $x=1$ noktasında tanımlı değildir. Fonksiyonun tanımlı olmadığı bir noktada sürekliliğinden ya da süreksizliğinden bahsedilemez. $x=0$ veya $x=1$ noktasında $f$ fonksiyonu yüreklidir ya da yüreksizdir demek ne kadar anlamsız ise süreklidir ya da süreksizdir demek de o kadar anlamsızdır. Fonksiyon tanım kümesindeki her noktada süreklidir. Fonksiyonun süreksiz olduğu bir nokta YOKTUR. Bir de şu ilaveleri yapabiliriz.

$$h(x)=\frac{x}{x-1}$$

kuralı ile verilen 

$$h:\mathbb{R}\backslash \{1\}\rightarrow \mathbb{R}$$

fonksiyonu süreklidir $\ldots (1)$

$$g(x)=3^x$$

kuralı ile verilen $$g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$

fonksiyonu süreklidir $\ldots (2)$

$$(1),(2)\Rightarrow (g\circ h)(x)=g(f(x))=3^{\frac{x}{x-1}}$$

kuralı ile verilen 

$$g\circ h:\mathbb{R}\backslash \{1\}\rightarrow \mathbb{R}$$

fonksiyonu süreklidir $\ldots (3)$

$$m(x)=x-1$$

kuralı ile verilen $$m:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$

fonksiyonu süreklidir $\ldots (4)$

$$(3),(4)\Rightarrow (m\circ (g\circ h))(x)=m(g\circ h)(x)=3^{\frac{x}{x-1}}-1$$

kuralı ile verilen $$m\circ g\circ h :\mathbb{R}\backslash \{1\}\rightarrow \mathbb{R}$$

fonksiyonu süreklidir $\ldots (5)$

$$n(x)=\mid x-1\mid$$ kuralı ile verilen $$n:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$

fonksiyonu süreklidir $\ldots (6)$

$$m\circ h\circ g :\mathbb{R}\backslash \{1\}\rightarrow \mathbb{R}$$

sürekli ve 

$$n:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$

sürekli olduğundan 

$$f(x)=\frac{n(x)}{(m\circ h\circ g)(x)}=\frac{\mid x-1 \mid }{3^{\frac{x}{x-1}}-1}$$

kuralı ile verilen 

$$f:(\mathbb{R}\backslash \{1\})\backslash \{x\mid (m\circ g\circ h)(x)=0\}\rightarrow \mathbb{R}$$

yani

$$f:\mathbb{R}\backslash \{0,1\} \rightarrow \mathbb{R}$$

fonksiyonu süreklidir.

Comments

$x=1$ olabilir mi?

---

Yukarıdaki düzenlemelerden sonra şunu söyleyebiliriz. $x=1$ noktasında süreklilik ya da süreksizlik söz konusu değildir.

---

$x=1$ olamaz.