Processing math: 25%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
379 kez görüntülendi

Temel bir kavram ile ilgili soru olacak ancak lisans düzeyi bir bakış açısı uygun olur diye düşündüğüm bir sorudur:

Soru: Polinomun terim sayısı (tanım olarak) nedir? Nasıl hesaplanır?

 

İki görüşür de örneklerle biraz açmak isterim.

- Tek değişkenli olan x2 polinomunun terim sayısı 1 midir yoksa 3 müdür? (x2+0x+0 yazma fikri ile)

- İki değişkenli x+y polinomunun terim sayısı 2 midir yoksa 3 müdür? (x+y+0 yazma fikri ile)

- İki değişkenli x2xy+y2 polinomunun terim sayısı 3 müdür yoksa 6 mıdır? (0x+0y+0 ilave etme fikriyle)

----

Birinci Görüş: Bir polinomun terim sayısı, katsayısı sıfırdan farklı olan terimlerinin sayısıdır. Bu görüşe göre, özel bir polinom olan sıfır polinomunun terim sayısı da 0'dır.

İkinci Görüş: n0 bir tam sayı olmak üzere n-inci dereceden polinomunun terim sayısı tam olarak n+1 'dir. Ayrıca bu görüş, sıfır polinomunun da 1 terimli polinom olduğunu savunuyor gibi. (Bu ikinci görüş, sıfır polinomunun terim sayısı hakkında farklı bir iddia savunuyorsa da duymadım.)

----

Benim bu konudaki okumalarım şu şekildedir:

- MEB 10. sınıf (2023) kitabında bazı temel kavramlar tanıtıldıktan sonra örneklere yer verilmiştir. Örnekteki 4. dereceden polinomun 4 terimini yazmıştır ve dolayısıyla terim sayısının 4 olduğunu ima etmektedir.

 

D. Dummit'in Abstract Algebra kitabında polinomun tanımı verilmiş, sonraki sayfada "terim"in ne olduğu net biçimde açıklanmıştır. (Aşağıda yorumda tercümesi ile sunuldu.) Bu kitabın 2. görüşü desteklediği iddia edilmişti. Aslında bu kitap da 1. görüşü desteklediği açıktır.

 

Wikipedia Polynomial sayfası en kesin dili kullanıyor:

Two terms with the same indeterminates raised to the same powers are called "similar terms" or "like terms", and they can be combined, using the distributive law, into a single term whose coefficient is the sum of the coefficients of the terms that were combined. It may happen that this makes the coefficient 0. Polynomials can be classified by the number of terms with nonzero coefficients, so that a one-term polynomial is called a monomial,[d] a two-term polynomial is called a binomial, and a three-term polynomial is called a trinomial.

Türkçesi:

Aynı belirsizlere (değişkenlere) ve aynı üslere sahip iki terim, “benzer terimler” olarak adlandırılır ve bu terimler, dağılma özelliği kullanılarak birleştirilebilir; bu birleşme sonucunda ortaya çıkan terimin katsayısı, birleştirilen terimlerin katsayılarının toplamı olur. Bu toplamanın sonucu bazen katsayının sıfır olmasına yol açabilir. Polinomlar, sıfırdan farklı katsayıya sahip terim sayısına göre sınıflandırılabilir; buna göre, tek terimli bir polinom “monom”, iki terimli bir polinom “binom” ve üç terimli bir polinom “trinom” olarak adlandırılır.

 

Şuradaki akademik makale de incelediği yüksek dereceli bazı polinomları trinomial (üç terimli) olarak tabiri ile kullanmış. "A trinomial is a polynomial in one variable with three nonzero terms, for example P=6x7+3x35", demiştir. Trinomial, üç terimli demektir. Yani bu polinoma 8 terimli demediği için 1. görüşü desteklemektedir.

 

Wikipedia'daki Trinomial başlığında örnek olarak x2n+rxn+s kullanılmış. Trinomial, üç terimli demektir. Yani bu polinoma 2n+1 terimli demediği için bu da 1. görüşü desteklemektedir.

Eğitim materyalleri sunan yabancı sitelere de baktım. mathisfun sitesinde de 1. görüş açıkça desteklenmektedir. Resimdeki örneğe bakılabilir:

 

Öte yandan 100. yıl üniversitesinden bir profesör hocamıza sorulmuş, P=x2 için terim sayısı 3 'tür demiş. Genel olarak n-inci dereceden (tek değişkeli) polinom için de terim sayısı n+1'dir demiş. Ben de hiç bir yabancı eğitim sitesinde ve/veya kitapta P=x2 için terim sayısı 3 'tür diye bir şey görmedim açıkçası. Bir kişi aracılığı ile bu bilgiye referans olarak kaynak istediğimde, 'kaynak vermem zor' cevabı verilmiş.

 

proofwiki sitesindeki polinom ve terim tanımının 2. görüşü desteklediği de iddia edilmiştir fakat ben buna da katılmıyorum.

Ben şöyle anlıyorum. Bir polinom tanımı verilirken aixi lerin her birine terim denir, denmiş olsa da tanımlamanın devamında n-inci dereceden polinomda terim sayısı (number of terms) n+1 olur gibi bir açıklama yoktur. Proof wiki'de terim sayısı kavramından hiç bir şekilde bahsedilmemektedir. Bu nedenle, oradaki "term" kavramından hareketle "number of terms" kavramına dair bir anlayış ortaya koyulamaz. Yani n+1 terim vardır yaklaşımını da desteklemiyor, sıfırdan farklı katsayılara sahip terimlerin sayısı yaklaşımını da desteklemiyor. Proof wiki bu noktada nötr duruyor.

----

Son Değerlendirmem:

Verdiğim kaynaklarda ya nötr ya da 1. görüşü destekleyici tutum vadır. Bu nedenle ben de terim sayısı konusunda 1. Görüş'ün doğru olduğunu düşünüyorum. Birinci görüş, polinomu oluşturan bir katsayılar dizisi olduğunu ihmal etmez. Şunu söyler: Arada bazı katsayılar sıfır olabilir. Terim sayısı hesaplanırken, katsayısı 0 olanlar bu hesaplamaya dahil edilmez. Bu hesaplamada sadece 0'dan farklı katsayılıların sayısı dikkate alınır. 2. görüştün savunmasında gördüğüm şey, polinomun tanımındaki aixi lerin her birine terim deniyor olmasından hareketle, madem ki bu bir terimdir o zaman terim sayısında da saymalıyız düşüncesidir. Bu, Dummit'in kitabı ve proofwiki'deki polinom tanımlasından ileri geliyor. Polinom kavramının tanımlanış şeklinde hiç bir sorunumuz yok, burada herkes hemfikirdir sanıyorum. Fakat bu kaynaklar, polinomun terim sayısı (number fo terms) kavramından bahsetmediği için 1. görüşü destekler ya da 2. görüşü destekler gibi bir çıkarımda bulunmuyorum. Ayrıca 2. görüşü destekleyen hiç bir eğitim materyaline denk gelmedim. Yani, "P=x4+5x2 polinomunun terim sayısı 5'tir" vb soru-çözümlerinin olduğu bir kitap/matematik portalı vb görmedim. Ama "P=x4+5x2 polinomunun terim sayısı 2'dir" şeklinde çok fazla eğitim materyali var MEB kitabı ve yabancı sitelerden bazılarını paylaştım. (Aklıma yen şeyler geldikçe bu sayfada ekleme ve güncelleme yapabilirim.)

 

Ancak konu hakkında bilgi sahibi hocalarımızın görüşlerini özellikle merak ediyorum. Farklı veya destekleyici görüşler memnuniyetle karşılanır. Teşekkürler.

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 379 kez görüntülendi

Bu da kalsın:
monomial, binomial vs

TARTIŞMA Tmoz'da devam ediyor. Lokman Hocamı destekleyen şu kaynaklar da verilebilir :(tmozdan alıntı)

Abstract Algebra (David S. Dummit, Richard M. Foote), Bölüm 9.1: "Polynomials are formal sums of nonzero monomials."  
  - College Algebra (James Stewart, Lothar Redlin), Bölüm 1.3: "The number of terms in a polynomial is determined by counting non-zero coefficients."
  - Handbook of Mathematical Functions (NIST), Sayfa 17: "In standard form, terms with zero coefficients are omitted."  
  - Mathematics Dictionary (James & James): "A polynomial is simplified by removing terms with zero coefficients."
- Temel Matematik (Prof. Dr. Mustafa Balcı), "Bir polinomun terim sayısı, katsayısı sıfırdan farklı olan terimlerin sayısıdır."

12000 karakter sınırını aştığım için yorumdan devam edeceğim:
 

Ek Fikirler (12 Mayıs 2025): Cebirsel ifadeler ile ilgili bazı bilgileri derledim. Çünkü polinomlar, cebirsel ifadelerin özel halleridir. Polinomların belirleyici iki özel koşulu vardır. Sonlu sayıda terim içermesi ve değişkenlerin üslerinin negatif olmayan tam sayılar olması. Bu yüzden, bir cebirsel ifadenin terim sayısını nasıl sayıyorsak polinomun terim sayısını da aynı şekilde saymalıyız. Biraz daha temele inelim.

 

Cebirsel ifade, sabitler ve değişkenlerden oluşan bir ifadedir ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve bir rasyonel sayının üssünü alma gibi sonlu sayıda cebirsel işlemlerden oluşur. Örneğin, x,y,z değişkenler olmak üzere 2x+3yz bir cebirsel ifadedir. Mevcut eğitim sistemimizde öğrencilerimiz Cebirsel İfade kavramı ile ilk kez 6. sınıf düzeyinde karşılaşıyorlar. MEB 6. sınıf matematik kitabında bu sınıf düzeyine uygun bazı tanımlar şöyledir:

- "Cebirsel ifadelerde sayısal değerlerin yerine bu sayıları temsil eden sembol ya da harf kullanılabilir. Sayıların yerine kullanılan sembol ya da harflere değişken adı verilir."

- "İçerisinde en az bir değişken ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifade denir."

- "Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri ile birbirinden ayrılan her bölüme terim denir. Terimlerde değişken ile çarpım durumunda olan sayıya katsayı, değişken içermeyen sadece sayıdan oluşan terime ise sabit terim denir."

Burası, eğitim hayatımızda 1. görüşün kendisini ilk kez gösterdiği önemli bir köşe taşıdır. x,y değişkenler olmak üzere 2x+3y cebirsel ifadesi (aynı zamanda polinomdur) 2 terimlidir. Çünkü 2x ve 3y, + işlemi ile birbirinden ayrılmıştır. Terim sayısı problemini ele almanın en temel doğasında onu bir kombinatorik problem olarak ele aldığımızı görüyoruz. Aslında 2. görüşü benimseyen matematikçilerden bu 2x+3y cebirsel ifadesi için "2x+3y+0 yazarım, 3 terim vardır" diye ciddi biçimde savunanı da görmedim. Burada "hem 2 terim vardır" deyip hem de "2. görüşte tutarlı kalmanın zorluğu" görüldüğü için, "bizim çalıştığımız örnekler, tek bilinmeyen üzerinde ilerliyor. x ve y gibi bilinmeyen içeren polinomlarda derece kavramının tanımı farklı" diye bir savunma var. Bu savunmayı da zayıf buluyorum. Çünkü derecesi n olan iki değişkenli polinom i+jn, i,j0 tam sayılar olmak üzere aijxiyj biçiminde tanımlanır. aijxiyj ifadelerinin herbirine de polinomun terimi denir. 2. görüşü daha kuvvetli biçimde savunmak isteyenler için bir şeyler hazırladım. Temelde 2. görüş, bu konuyu bir lineer cebir problemi olarak tanımlıyor. aij sayılarını bir matris (belki bir üçgen matris) içine yerleştirme (eleman yazma) gibi bakıyor. Bu fikirle n-inci dereceden (belirlilik için total derece kavramından bahsediyorum) iki değişkenli bir polinom için, özdeş nesnelerin farklı kutulara dağılımı prensibi ile  \text{terim sayısı} = \dbinom{n+2}{2} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

biçiminde hesaplanır. n=1 için P=2x+3y gibi birinci dereceden iki değişkenli bir polinom için bu formül 3 sayısını üretir. Yani, "Bir tanım var, a_{ij}x^iy^j ifadelerinin herbirine de polinomun terimi denir" görüşünü savunanların P=2x + 3y için 3 terim vardır demesi gerekiyor, çünkü sabit terim 0'dır. "Tek değişkenli polinomda 0 sabit terimini de terim sayısına dahil ederim ama, çok değişkenli polinomda 0'ı dahil etmem" demek bir tutarsızlıktır. 2. Görüş, tek değişkenli n-inci dereceden \displaystyle{\sum_{i=0}^n a_ix^i} polinomunu (a_0, a_1, \dots, a_n) vektörü olarak ele alır. Bu vektörün boyutuna (bileşen sayısına) polinomun terim sayısı olarak bakılmaktadır. Yani lineer cebir bakış açısı kendini burada göstermektedir. Serge Lange'ın Undergraduate Algebra kitabında da (resim paylaştım) bir polinom (a_0, a_1, \dots, a_n, 0, 0, 0, \dots ) şeklinde vektörler yardımıyla tanımlanmıştır. 2. görüşle arasında bazı farklar vardır, orada vektör sonsuz boyutludur ve Serge Lange terim sayısı kavramından bahsetmez. Bu konuda nötrdür, bir görüş belirtmemiştir. 1. görüş lineer cebir bakış açısı ile de çelişmez. 1. Görüş, Serge Lange'ın tanımlamasındaki vektörün sıfırdan farklı bileşenlerinin sayısını polinomun terim sayısı olarak alır.

Yine 2. görüşe göre iki değişkenli P=x^2 - xy + y^2 polinomu \dfrac{3\cdot 4}{2} = 6 terimli olmalıdır. Çünkü x, y ve sabit terim için katsayılar 0'dır. Bu ifade bir çok yerde trinomial (üç terimli) diye geçer. "2. görüş P=x^2 - xy + y^2 trinomial (üç terimli) polinomunda 6 terim var" demek zorunda kalıyor.

Genel olarak 2. görüş, "(total) derecesi n olan k bilinmeyenli polinomda tam olarak \dbinom{n+k}{k} tane terim var" demeye mecburdur. Çünkü katsayıları bir tür matrisin veya tensörün girdileri olarak görür. 1. Görüş ise, hem kombinatorik hem de lineer cebir yaklaşımı ile uyumlu kalmayı başarır. 1. Görüş katsayılar matrisindeki (veya tensöründeki), 0'dan farklı elemanların sayısına "terim sayısı" der. Böylece P=x^2 - xy + y^2 trinomiyalinde 3 terim vardır, der. Sayma yoluyla yapılırsa da - ve + işaretleri ile 3 terime ayrıldığını söyler. Bu, ortaokulda öğrendiğimiz şekliyle uyumludur. \blacksquare

@alpercay hocam teşekkürler. D. Dummit'in Abstract Algebra kitabında sf 296-297 deki kısmın Türkçe tercümesini paylaşıyorum. Bu kısım meseleyi tamamen açıklıyor:

 

\textbf{Tanım.} Değişkenleri x_1, x_2, \ldots, x_n olan ve katsayıları R halkasında bulunan polinom halkası, R[x_1, x_2, \ldots, x_n] ile gösterilir ve şu şekilde endüktif olarak tanımlanır:
R[x_1, x_2, \ldots, x_n] = R[x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}][x_n]

Bu tanım, n değişkenli polinomların, yalnızca bir değişkenli (örneğin x_n ) polinomlar olarak düşünülebileceği fakat bu polinomların katsayılarının n - 1 değişkenli polinomlar olduğu anlamına gelir.

Biraz daha somut bir ifadeyle, R halkasında katsayılara sahip ve x_1, x_2, \ldots, x_n değişkenlerini içeren sıfırdan farklı bir polinom, sonlu sayıda sıfır olmayan \text{monom terimin} toplamıdır. Yani şu formda terimlerin sonlu toplamı:
a x_1^{d_1} x_2^{d_2} \cdots x_n^{d_n}
burada a \in R (terimin \text{katsayısı}) ve d_i değerleri sıfırdan küçük olmayan tam sayılardır.

Monom kısmı x_1^{d_1} x_2^{d_2} \cdots x_n^{d_n} olan terime \text{monom} denir. Üstelik her d_i , terimin x_i değişkenindeki \text{derecesidir} ve tüm üslerin toplamı olan
d = d_1 + d_2 + \cdots + d_n
değerine \text{terimin derecesi} denir.

Sıralı n -li (d_1, d_2, \ldots, d_n) , terimin \text{çoklu derecesi} (multidegree) olarak adlandırılır.

Sıfırdan farklı bir polinomun derecesi, içindeki monom terimlerin derecelerinin en büyüğüdür.

Eğer bir polinomun tüm terimleri aynı dereceye sahipse, bu polinom \text{homojen} ya da \text{tek biçimli} (of a form) olarak adlandırılır.

Eğer f , n değişkenli sıfırdan farklı bir polinomsa, derecesi k olan tüm terimlerinin toplamı, f 'nin \text{derecesi} k olan homojen bileşeni olarak adlandırılır. Eğer f 'nin derecesi d ise, f aşağıdaki gibi yazılabilir:
f = f_0 + f_1 + \cdots + f_d
burada f_k , derecesi k olan homojen bileşeni temsil eder (bazı f_k ifadeleri sıfır olabilir).

Son olarak, katsayıları R 'de olan ve değişken sayısının keyfi olduğu bir polinom halkasını tanımlamak için, yukarıdaki türden monom terimlerin sonlu toplamlarını alırız (ama değişkenler yalnızca x_1, \ldots, x_n ile sınırlı değildir). Bu terimlerin doğal toplama ve çarpma kuralları altında oluşturduğu halkaya polinom halkası denir.

Alternatif olarak, bu halkayı, sabit değişken sayısı yerine, \text{değişken sayısı sonlu olan} tüm polinom halkalarının birleşimi olarak da tanımlayabiliriz.

Önce şunu belirtmeliyim ki, benim bu tartışmada polinom sözcüğünden kastettiğim, tek değişkenli polinomdur. Çok değişkenli polinomların terminolojisi çok daha geniş olup, kaynaklara göre farklılıklar gösterebilmektedir. Bu yüzden  onları bu tartışmanın dışında bırakıyorum. Diğer taraftan, lisans düzeyinde "polinomun terim sayısı" ile ilgili bir tartışmaya ben rastlamadım. "Polinomun terim sayısı" terimi nadiren kullanışlıdır. Çoğu teoremde önemli olan, polinomun terim sayısı değil, derecesidir. Hatta bunun için, örneğin, deg(P) gibi özel notasyon kullanılır. Ben polinomun terim sayısı için kullanılan bir notasyon bilmiyorum. Bu nedenlerden dolayı bunu faydasız bir tartışma olarak görürüm. Yine de, illa ki bir görüşü destekleyeceksem, ikinci görüşü desteklerim. Şu şerhle ki; ikinci görüş sıfır polinomu hakkında bir şey söylemez. İkinci görüşün iddiası, derecesi n (n\in\mathbb{N}) olan polinomlar hakkındadır. Sıfır polinomunun derecesi n değildir. 

• Yazının başında alıntısı yapılan MEB'in 10. sınıf ders kitabında, n. dereceden polinompolinomun terimleripolinomun katsayıları ve ilgili diğer kavramlar tanımlanmış. (n. dereceden) polinomun terimleri:

\quad\quad a_nx^n, a_{n-1}x^{n-1},a_{n-2}x^{n-2},\ldots,a_2x^2,a_1x,a_0

olarak sıralanmış. Bu tanıma göre, n. dereceden bir polinomun, n+1 tane terimi olduğu aşikardır. a_n dışındaki diğer tüm katsayılar 0 olabilir. Çünkü MEB kendi tanımında, a_n\neq0 şartını koymuş. Diğer katsayılar için reel sayı olmaları dışında bir kısıt koymamış. Yani MEB'e göre, derecesi polinomun derecesinden küçük olan terimler, katsayıları 0 olsa da birer terimdir. Daha sonra verdiği 2. örnekte ise, verilen polinomun 3. dereceden terimini, katsayısı 0 olduğu için terim saymamış ve kendi verdiği tanım ile bariz bir tutarsızlık oluşturmuş. Aşağıda, 1982 yılında lise birinci sınıftayken bize okutulan "Matematik Lise 1" ders kitabından bir örnek var. Örnekte katsayısı 0 olan terimler de sayılmış.

 

• Fikrimce, Wikipedia'dan yapılan alıntı iki görüşü de desteklemez. Çünkü orada yapılan sınıflandırma, polinomun terim sayısına göre değil, sıfırdan farklı katsayıya sahip terim sayısına göre yapılmaktadır. Yani, Wikipedia maddesine göre, "P(x) trinomial bir polinomdur" dendiğinde, P(x) polinomunun sıfırdan farklı katsayıya sahip terim sayısının 3 olduğu anlaşılır. Bu, P(x) polinomunun terim sayısı hakkında kesin bir bilgi vermez. Hatta, Wikipedia maddesi illa ki bir görüşü destekleyecekse, ikinci görüşü desteklemeye daha yakındır. Çünkü, "sıfırdan farklı katsayıya sahip" nitelemesi yaparak, katsayısı 0 olan terimlerin de birer terim olduğunu ima etmektedir. Eğer terim kavramı içsel olarak "sıfırdan farklı katsayıya sahip" anlamını içerseydi bu niteleme gereksiz olurdu. Zaten bu tartışmanın esas konusu, "katsayısı 0 olan terim, terim sayılır mı, sayılmaz mı?" dır.

• Son olarak, birinci görüşü destekleyenler, şu iki soruya ne yanıt verirler, merak ederim:

İkinci dereceden P(x) = x^2 + 1 polinomu veriliyor.

1) P(x) polinomunun terimlerinin katsayıları çarpımı kaçtır?

2) P(x) polinomunun birinci dereceden teriminin katsayısı kaçtır?

İlk soruya 1, ikincisine 0 yanıtı vermek tutarsızlıktır. İlkine 1 yanıtı verilmişse, tutarlılık adına, ikincisine "yoktur" denilmelidir. Fakat eminim ki hemen hemen herkes ikinci soruya 0 yanıtı verir.

@NejatAydın değerli hocam öncelikle yorumunuz için teşekkürler,

Polinomun terim sayısı tartışmasını gereksiz bulduğunuzu ifade etmişsiniz. Siz de tartışmayı takip eden birisi olarak, bu tartışmayı sizin gibi 2. görüşü destekleyen kişilerin ortaya attığını iyi biliyorsunuz. Bundan sonra, karşıt 1. görüş ve eleştiriler sunuldu. Ben de, bu konunun aslı nedir diye saatlerce okuma ve araştırma yaptım. Yukarıda birçok bulgumu yazdım, sunulan bir videoya karşılık bir video hazırladım. Karşıt görüşünüzü, kaynaklarınızı, akademisyenlerin de bulunduğu matematik kafası sitesinde paylaşın lütfen, diye açık çağrı yaptım. 2. görüşü savunacak konunun uzmanı olarak siz geldiniz diye anlıyorum. Artık, görüşünüzü titiz biçimde savunmanız beklenirken "bu tartışmayı gereksiz görüyorum" diyemezsiniz. Sağlam biçimde savunmalısınız. Bu kenarda kalsın.

 

Diğer kısımlarla ilgili bazı eleştirilerim olacak:

 

Polinomun genel bir tanımı var ve bu tanım hem çok değişkenli hem de tek değişkenli polinomu kapsayacak biçimdedir. Bunu göz ardı ederek konuyu değerlendiremezsiniz. 2. görüşteki açmaz, çok değişkenli polinomda kendini iyice gösteriyor. "Çok değişkenli durumda 0'ları saymam ama tek değişkenli olursa 0'ları da sayarım" demek tutarsızlık olur. Ayrıca görüşünüzü savunurken literatürde ne var diye bakmalısınız, yabancı kaynakları, kitapları da kullanmalısınız. Serge Lange ne yazmış, David Dummit ne yazmış, James Stewart ne yazmış, başka diğerleri ne yazmış ... vs iyi bir araştırma hazırlık yaptıktan sonra hangi görüşü savunacaksanız öyle savunmalısınız. Burada sizlerin ortaya attığı, şu ana kadar temelsiz bir argümandan dolayı ben günlerimi harcadım. Gerçekten, dediğiniz görüşün eğitim materyallerinde-akademik kitaplarda-akademik makalelerde karşılığı var mı diye araştırdım.

 

Görüşünüzdeki bir diğer tutarsızlık, "MEB'in tanımını referans alıyorum ama terim kavramı konusunda verdiği örneği kabul etmiyorum" demektir. MEB kitapları, pedagojiye uygun olması gerektiği gibi, öğrencilerin daha kolay anlayabileceği bir dille yazılabiliyor. Akademik kitaplardan beklenilen şekilde tanım titizliğini, MEB kitaplarında görmeyebiliriz, o sınıf düzeyi için doğrusu da odur. Terim kavramı konusunda, MEB kitabının verdiği örnek bir yanlışlık değil, terim'den ne anlatmak istediğini vurgulayan yazılmış bir örnektir. MEB kitabı sizin görüşünüze açıkça ters olan açıklayıcı örnek sunduğu zaman, "ama örneği yanlış vermiş" diyemezsiniz. Yapmanız gereken, "Acaba bu tanımda başka bir şey mi anlatılmak istenmiş? Bunun dünyadaki örnekleri nelerdir?" diye araştırmaktır. Verdiğim akademik makalede "A trinomial is a polynomial in one variable with three nonzero terms, for example P=6x^7-3x^3-5", demiştir. Şöyle diyor: Üç terimli (trinomial) bir polinom, üç sıfır olmayan terime sahip tek değişkenli bir polinomdur, örneğin P=6x^7-3x^3-5. Zahmet edip böyle makaleleri araştırırsanız, MEB'in de o yanlış sandığınız basit açıklayıcı örneği neden verdiğini görmüş olurdunuz. Bunu, tek değişkenliler üzerine konuşuyorum dediğiniz için verdim. Üzülerek söylemeliyim ki, "böyle bir polinomda 8 tane terim vardır, terim sayısı 8'dir" vb net bir açıklama veren bir tane kaynağınızı görmedim.

 

1982 yılında "Matematik Lise 1" kitabından paylaştığınız resimde, terim sayısı 5'tir demiyor. O baştan beri sizin kattığınız bir yanlış yorumlama. Tekrar ifade ediyorum, yerli-yabancı hiç bir kaynakta, "tek değişkeli n-inci dereceden polinomda tam olarak n+1 terim vardır" diye bir ifade görmedik. Sunduğunuz sayfa sizi destekleyici bir kaynak değil. Olmayan terimlerin yerine 0 kullanılır. Serge Lang'ın vektör gösteriminde de bundan bahsettim. 1982'de yazılmış bir kitaptan alakasız bir resim alarak iddianızı savunamazsınız. Ama gerek tek değişkenli için akademik makalede sunduğum örnekte, gerekse David Dummit'in Abstract Algebra'da terim'den ne anlaşıldığı açık biçimde ortaya koyulmuştur: "Polinom, sonlu sayıdaki ve sıfırdan farklı monomların (tek terimlilerin) bir toplamıdır". Güncel MEB kitabının da yaptığı tam olarak bu tanıma uygun biçimde, monomlara ayırmaktır. MEB kitabından "şu monomdur, katsayısı 0 olan ifadeler polinomda yazılmaz" gibi öğrenciler açısından detay sayılabilecek kavramları yazmak yerine, anlaşılırlık açısından kolaylık olsun diye bunları örnekle sunmayı tercih etmiş. Durum bu kadar basittir. 1. görüşün ifade ettiği şekilde dünyada birçok eğitim materyali vardır. Diyebilirsiniz ki "eğitim materyalini hazırlayan yabancılar da yanlış anlıyor, hem akademik değil". Akademik olanını da paylaştım. Fakat bu materyaller de kullanımı göstermesi bakımından örnektir:

monomial, binomial, trinomial (video linki)

 

Trinomial ile ilgili makale örneğini vermiştim. Wikipedia'nın trinomial başlığında sunulan örnekler için "Trinomial'in terim sayısının 3 olduğu anlaşılmaz, 2. görüşe daha yakındır" diyorsunuz. Bu nasıl bir oksimorondur? Kelime anlamı olarak trinomial, üç terimli demektir. monomial=bir terimli, binomial=iki terimli, trinomial=üç terimli. x^2 - xy + y^2 bir trinomialdir deyince, neyi kastediyor olabilir? Daha ne kadar açık yazabilirler ki? Çok değişkenli polinomları kapmsam dışı tutmaya çalışmanızı şöyle anlıyorum: Çünkü buradaki x+y ifadesine "üç terimlidir, terim sayısı üçtür" demeye sizin de diliniz varmıyor.

 

Sorularınıza da titiz cevap veriyorum:

\bullet İkinci dereceden P(x) = x^2 + 1 polinomumum terimleri iki tanedir: x^2 ve 1 Katsayılarının çarpımı 1\cdot 1 = 1 olur.

\bullet P(x) = x^2 + 1 polinomunda, birinci dereceden (x'li) terim yoktur ve x'li terimin katsayısı 0 olur. Burada katsayı 0 olur demekle, x'li terim yoktur demek arasında hiçbir fark yoktur. Aynı polinomu, Serge Lang'ın notasyonu ile P = (1, 0, 1, 0, 0, 0, \dots) diye gösteririz. İsterseniz "yer tutucu olarak 0 kullandım" deyin, isterseniz P(x) = x^2 + 0\cdot x + 1 yazın. Hepsi aynı şeyi farklı biçimlerde ifade ediyor. Burada çelişkili bir durum yoktur.

 

Amacım illa 1. görüş iyi - 2. görüş zayıf konusu değildir. Bu konu ile ilgili ne varsa, onları objektif biçim ortaya koymak amacıyla, günlerdir uzun saatler harcadım. Bir araştırma, sadece kendi iddiamızı desteklemek amacıyla yapılmaz. Karşıma diğer görüşün uzmanı olarak siz geldiniz ve bir tane 1982 basımı MEB kitabından, konuya direkt teması olmayan nötr bir pasaj paylaştınız. İki değişkenli x+y gibi bir polinomun terim sayısı konusunda sessiz kalmayı seçtiniz. Israrla, 2 tanedir diyemiyorsunuz. İyi biliyorsunuz ki "Şimdi neden x+y+0 yazmıyorsunuz, 3 terim vardır demiyorsunuz?" sorusu gelecek ardından. Gerçekten temelsiz ve hazırlıksız biçimde gelinmiş olduğunu görüyorum. Hayal kırıklığına uğradım.

Şunu söylemekle başlayayım: Ben hiçbir görüşün uzmanı falan değilim. İkincisi, lisans (veya üstü) kaynaklar özel olarak "polinomun terim sayısı" kavramıyla ilgilenmiyorlar. Pek kullanışlı bir kavram da değil. Bu nedenle bu tartışma gereksiz dedim. Kullanışlı olan kavram, polinomun derecesi

--

Bunlar sizin yazdıklarınız. Burada çok değişkenli polinomların kastediliyor olması mümkün değil. Zaten sizin MEB'den alıntısını yaptığınız tanımda, bir değişkenli olduğu açıkça belirtilmiş (MEB ders kitabından n. dereceden polinom ve ilgili terimlerin tanımlandığı alıntıyı yapan ben değil, sizsiniz). Dolayısıyla, ikinci görüşe sahip olanlar için, çok değişkenli polinomlar ile ilgili konuların bu tartışmada yeri yok.

--

Yazmışsınız. Elbette tanımı referans alacağım. Matematikte "tanım" denince akan sular durur. Ayrıca, "örneği kabul etmiyorum" diye bir ifade kullanmadım. MEB'in verdiği örneğin, bizzat kendi tanımıyla tutarsızlık oluşturduğunu yazdım.  "Ama örneği yanlış vermiş" diye bir ifadem de olmadı. Yazmadığım şeyleri yazdığımı iddia edip, sonra onun üzerine yorum yapıyorsunuz. MEB'in verdiği örnek kendi verdiği tanım ile tutarlı değil. İddiam buydu ve hâlâ da bu.

MEB'in kitabından yaptığınız alıntıda, polinomun terimlerini sıraladığı satırda, bu terimlerin sayısının n+1 olduğu apaçık görülüyor.  Saymayı bilen herkesin, MEB'in verdiği tanıma göre, n. dereceden bir polinomun terimlerinin sayısının n+1 olduğunu iddia etmesinden daha doğal ne olabilir ki? Sonra verilen örneğin, verilen tanımla çeliştiği de apaçık görülüyor. Dolayısıyla ya örnek değiştirilmeli, ya tanım. 

--

Yazmışsınız. Doğru. Ancak, sizin MEB'in kitabından yaptığınız alıntıdaki örnekte de "terim sayısı 4'tür" demiyor. Benim paylaştığım fotoğrafta katsayıları 0 olan terimlerin de sayıldığı açıkça görülüyor. MEB'in örneğinde ise sayılmıyor. Benim paylaştığım örnek, MEB'in yaptığı polinomun terimleri tanımıyla tam bir uyum içinde. Sizin MEB'den paylaştığınız örnek MEB'in bizzat kendi tanımıyla uyumsuz.

--

Yazmışsınız. Terim yok ve katsayısı sıfır! Terimin kendisi mevcut değil, fakat katsayısı mevcut! Olmayan şeyin katsayısının nasıl mevcut olduğu konusu beni aşar.

--

Yazmışsınız. Bu tanım iki görüşten hiçbirini desteklemez. Bir makaleden cımbızla bir cümle çekilerek bir sonuca varılmaz. Makale, genel olarak n. dereceden bir polinomun terimleri veya terimlerinin sayısı üzerine değil. Burada yazar, makalede kullandığı trinomial terimini tanımlıyor. Tanımlanan şey; bir polinomun sıfır olmayan terimlerinin sayısı 3 olduğunda, buna trinomial deneceği. Tanımda, basitçe three terms denmemiş. three nonzero terms denmiş. Basitçe three terms denseydi, buna 0 olan terimler de girebilirdi. Belli ki o üç terime 0 olan terimlerin girmesi istenmemiş. Bu nedenle  three nonzero terms denmiş. Sıfırdan farklı terimlerin terim olmadığı iddia edilmiyor. Yukardaki tanıma göre, P(x) = ax^p + bx^q + cx^r polinomu (p, q, r farklı doğal sayılar), a, b, c sıfırdan faklı ise bir trinomial, herhangi biri sıfırsa bir trinomial değil. Yine yukardaki tanıma göre, P(x) = ax^p + bx^q + cx^r + dx^s (p,q,r,s farklı doğal sayılar) polinomunun bir trinomial olması için, katsayılardan yalnızca birinin 0, diğerlerinin 0'dan farklı olması gerekir. Polinomun terim sayısı ile ilgili bir şey yok burada. Sıfırdan farklı olan terimlerle ilgili bir tanım var. Yukardaki tanıma göre, 100 tane terimi 0, 3 tane terimi 0'dan farklı olan bir polinom da trinomialdir. Wikipedia maddesi de benzer şekilde. Orada da tasnif, terim sayısına göre değil, sıfır olmayan terim sayısına göre yapılmış.

Sayın Nejat Bey,

Tartışmaya katıldığınız ve 2. görüşü desteklediğinizi beyan ettiğiniz için teşekkür ederim. Ancak bu tür bir tartışma ortamında, görüş beyan eden bir kişinin argümanlarını net, kaynaklı ve tutarlı şekilde savunması beklenir. Bu çerçevede, mesajlarınızdaki yaklaşımınızı ve argümanlarınızı detaylı biçimde ele almak istiyorum. Madde madde açıklama isterim.

1. “Bu tartışma gereksizdir” demek bir kaçış noktası değildir.

Öncelikle, “polinomun terim sayısı” kavramının kullanım sıklığı veya teoremlerdeki önemi ne olursa olsun, bu kavram hem eğitimde hem uygulamada karşımıza çıkmaktadır. "(x+y+z)^4 açılımında kaç terim vardır?" gibi kombinatoryal problemler yaygındır. “Gereksiz” şeklinde nitelendirmeniz, tartışmayı ciddiye alan ve somut kaynaklarla inceleyen kişilere karşı küçümseyici bir tavır olarak algılanabilir. Daha da önemlisi:

Eğer siz bu görüşü savunanlardan biriyseniz, “gereksiz” deyip kenara çekilme hakkınız yoktur; görüşünüzü gerekçelendirmekle yükümlüsünüz.


2. Literatürle desteklenmeyen bir görüş, sadece sezgi düzeyindedir

Benim paylaştığım kaynaklarda Dummit, Wikipedia, mathisfun, çeşitli akademik makaleler, Prof. Timur Karaçay 1. görüşü açık biçimde desteklenmektedir: Terim sayısı, sıfırdan farklı monomların sayısıdır.
Bu yalnızca sezgisel bir yaklaşım değildir, aynı zamanda hem tanımsal hem pedagojik hem de literatürel olarak yerleşik bir uygulamadır. Prof. Timur Karaçay'dan, 

Öte yandan, siz 2. görüşü savunmanıza rağmen hiçbir yabancı kaynak, eğitim sitesi, akademik makale veya üniversite kitabı sunmadınız. Sunduğunuz tek şey, 1982 yılına ait bir lise kitabından alınmış bir sayfa görüntüsüdür ve bu da açıkça 2. görüşü destekleyen bir açıklama içermemektedir. Oysa Başkent Üniversitesi'nin sitesinde sunulan Timur hocanın notlarında açıkça “5. dereceden bir polinom için terim sayısı: 4” şeklinde ifade edilmiş örnek mevcuttur.

Bu tür veriler sunmamanız, bilimsel yöntem açısından ciddi bir eksikliktir.

 


3. "Tanım doğru ama örnek hatalı/çelişkili" itirazınız problemlidir.

MEB kitabı hakkında söylediğiniz şu ifade dikkat çekicidir:
“MEB’in verdiği örnek, kendi verdiği tanım ile bariz bir tutarsızlık oluşturmuş.”

Bu ifade doğrudan şunu içerir: "Ya tanım hatalıdır, ya örnek hatalıdır."

Siz tanımın doğru olduğunu kabul ediyorsanız, o zaman örneğin hatalı olduğunu savunuyorsunuz demektir. Ben de bunu açıkça ifade ettim. Bu durumda bana “demediğimi diyormuşsun gibi gösteriyorsun” demeniz doğru değil. Ben sizin mantıksal ifadenizin doğal sonucunu formüle ettim. Diyorum ki "Eğer kitap hatalıysa veya sizin dediğiniz şekilde çelişkiliyse neden bu kitabın bir kısmını referans alırsınız? Başka kitaplardaki tanımlar da bu şekilde değil mi? Siz kitabı yanlış yorumluyor olamaz mısınız? Dünyadaki başka kitaplara, eğitim materyallerine, eğitim sitelerine bakmaz mısınız? Başka ülkelerde bu kavram nasıl öğretiliyor diye araştırmaz mısınız?" Bunu soruyorum.

 

4. “Trinomial” örnekleri ve anlamı üzerine

Trinomial, kelime tercümesi olarak basitçe "üç terimli" demektir. Paylaştığım akademik makalede maddesinde geçen ifadeler çok açıktır:

“A trinomial is a polynomial with three nonzero terms.” 

Burada daha hassas biçimde “nonzero” vurgusu yapılmıştır. Tüm a_ix^i ifadelerini terim sayan olmasın diye, “nonzero” nitelemesi yapılmıştır. Bu doğrudan 1. görüşün dayanağıdır. Peki "nonzero yazmasaydı sizin dediğini gibi mi olacaktı? Yine de hayır. Wikipedia'da ise, "a trinomial is a polynomial consisting of three terms" demiş 0 vurgusunu yapmamış ama örneklerinde de trinomial için x^{2n} + ax^n + b demiş. Bunun anlamını başka yerlere eğip bükmeyin diye açıklayıcı örnekler koymuş. Ayrıca, Wikipedia da polynomial sayfasında, sıfırdan farklı katsayılara vurgu yapmıştır.

Two terms with the same indeterminates raised to the same powers are called "similar terms" or "like terms", and they can be combined, using the distributive law, into a single term whose coefficient is the sum of the coefficients of the terms that were combined. It may happen that this makes the coefficient 0. Polynomials can be classified by the number of terms with nonzero coefficients, so that a one-term polynomial is called a monomial, a two-term polynomial is called a binomial, and a three-term polynomial is called a trinomial.

 

Siz bu konuda da “nonzero nitelemesi var, çünkü sıfır olanlar da terimdir” anlamı çıkarmışsınız. Bu anlam çarpıtmasıdır. “Nonzero term” ifadesi, doğrudan sıfır katsayılı olanları terim saymadığını belirtmektedir. Dummit'te de "Sıfır olmayan bir polinom, sıfırdan farklı monomların sonlu bir toplamıdır" der. Sıfırdan faklılık vurgulanmıştır. Aşağıda, matematik eğitim materyalleri sunan mathsquery sitesinden bir bölüm sunuyorum. Monomial, Binomial, Trinomial (üç terimli) kelimelerini nasıl anlamanız gerektiğini en basit haliyle anlatmış. Lehte veya aleyhte olabilir, bunları sizin de araştırmanız gerekiyor.

 


5. Çok değişkenli polinomları dışlamak yöntembilimsel bir hatadır

Konunun girişinde çok değişkenli polinomlar için de ifadeler sundum. Yani bağlam, sadece tek değişkenlilerden bahsetmiyor. “Bu tartışma sadece tek değişkenli polinomlar içindir” diyerek çok değişkenli örnekleri dışlamak, zor durumda kalınan her örneği oyunun dışına atmak anlamına gelir. Oysa iyi bir matematiksel görüş, tüm örneklerde tutarlılık göstermelidir.

2. görüş, iki değişkenli P(x, y) = x^2 - xy +y^2 polinomuna “6 terimli” demek zorundadır, çünkü bu görüşe göre 0x + 0y + 0 da eklenir. Fakat, bunu matematik camiasında savunmanın absürdlüğü de görülüyor. Bu açmazı çözmek için çok değişkenli hali dışlamak, görüşün evrensel geçerliliğini çökertir.

 

6. x'in Yokluğu Meselesi

Şuna da cevap vermek isterim.

Polinomda x'li terim yoktur dediğimizde, bunun vektörel temsilindeki bileşeni de boş bırakıyoruz demek değildir. O bileşenin 0 olması ile x'li terimin cebirsel yazılışta görülmemesini karşılıklı olarak eşleştiriyoruz. Cebirsel yazılışta x yoksa, ilgili slot 0'dır diyoruz, o slot nesnesizdir demiyoruz. Burada da ontolojik bir kavram karmaşanız var.

----

Sayın Nejat Bey, tartışmaya katılımınız için teşekkür ederim. Ancak bilimsel bir tartışmada temel yükümlülük, savunduğunuz görüşü:

\bullet Tanımları bağlamla tutarlı biçimde kullanmak, tanımların anlamını çarpıtmamak

\bullet Kaynaklarla desteklemek,

\bullet Mantıksal sonuçlarını üstlenmek,

şeklindedir. Ben bu tartışmayı 1. görüşün savunucusu olarak değil, bilimsel araştırmayı önemseyen biri olarak yürüttüm. Sizden de aynı özeni beklerdim. Araştırmalarım sonucunda sizin görüşünüzü objektif olarak destekleyen hiçbir materyal bulamadığım için, ona dair bir sunum yapmadım. Eğer gerçekten bulabilseydim, "1. görüş de oluyor, 2. görüş de oluyor" vs bir sonuç mutlaka yazardım.

 

Polinom ile ilgili Prof. Timur Karaçay'ın notlarına erişerek konuyu öğrenmek isteyenler için link bırakıyorum.
Esenlikler diliyorum.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Lokman hocam şöyle diyebiliriz:

Monomial tanımını verip her polinom monomiallerin sonlu toplamı şeklinde ifade edilir deyip polinomda kaç tane monomial varsa polinomun terim sayısı da odur diyebiliriz.

Buna polinom kavramı, monomial kavramından önce veriliyor/tanımlanıyor gerekçesiyle veya başka bir gerekçeyle cebirci bir arkadaş itiraz edebilir. Bu kavramların hangisinin önce verildiğini/tanımlandığını ben de bilmiyorum. Ama muhtemelen monomial kavramı polinom kavramından önce geliyordur. En sağlıklı bilgiyi cebir alanında uzmanlaşmış bir hocamızdan alabiliriz diye düşünüyorum.

Buna göre de sıfır polinomunun terim sayısı sıfır olacaktır.
(11.5k puan) tarafından 
20,331 soru
21,887 cevap
73,623 yorum
3,030,495 kullanıcı