f , X'den Y'ye fonksiyon olsun.

Question

"Her $A \subseteq X$ için $A=f^{-1} [f[A]]"$ her zaman doğru mudur?

$A \subseteq X$ olsun.

$x\in A \Longrightarrow f(x)\in f[A]\Longrightarrow x \in f^{-1}[f[A]]$ olduğundan $A\subseteq f^{-1}[f[A]]$ olur.

Fonksiyonun birebir olup olmadığına bakarsak,

$f, \text{ birebir}:\iff (\forall x_1,x_2\in X)(f(x_1)=f(x_2)\Longrightarrow x_1=x_2)$

$x\in f^{-1}[f[A]] \Longrightarrow(\exists y \in f[A]) (f(x)=y)$

ben buraya kadar ilerleyebildim.

Devamında yardımcı olabilir miisiniz?

Comments

$$(\forall A\subseteq X)(A=f^{-1}[f[A]])\ldots (*)$$ önermesi doğru ise her $A\subseteq X$ için $$A\subseteq f^{-1}[f[A]]\ldots.(1)$$ ve $$f^{-1}[f[A]] \subseteq A\ldots (2)$$ olduğunu göstermelisin.

Sen keyfi bir $A\subseteq X$ için $$A\subseteq f^{-1}[f[A]]$$ olduğunu göstermişsin.
 

Eğer (*) önermesi doğru ise şimdi de keyfi bir $A\subseteq X$ için $f^{-1}[f[A]]\subseteq A$ olduğunu göstermelisin. Doğru değil ise doğru olmadığına dair bir örnek vermelisin.

Önce buna karar vermelisin. Buna nasıl karar vereceksin? Onu düşün.

---

Öncelikle cevabınız için teşekkür ederim.

Yazdığınız işlemlerden yola çıkarak son şeklini vermeye çalıştım.

($\forall$A$\subseteq$X)(A=$f^{-1}$[f[A]])....$(*)$ önermesinin doğru olduğunu göstermek için birbirlerinin altkümesi olduğunu göstermeliyiz.

Amacımız (1) A$\subseteq$$f^{-1}$[f[A]] ve (2)$f^{-1}$[f[A]]$\subseteq$A  (1),(2) olduğunu göstermek.

Başlayalım.

($\forall$A$\subseteq$X)(x$\in$A)          ​​​​​​

f[x]=$\Bigl\{$f(x) $\mid$x$\in$X $\Bigl\}$        $\Longrightarrow$ f(x)$\in$f[A] $\Longrightarrow$ x$\in$$f^{-1}$[f[A]]

f, fonksiyonunun birebir olduğunu varsayalım ve herhangi bir A$\subseteq$X altkümesini düşünelim.

Elimizde A$\subseteq$$f^{-1}$[f[A]] bilgisi var.

x$\in$$f^{-1}$[f[A]] $\Longrightarrow$ f(x)$\in$f[A] $\Longrightarrow$$\exists$$x^{'}$$\in$A[f(x)=f($x^{'}$)] diyebiliriz.

f,fonksiyonunun birebir olduğunu varsaydığımızdan

x=$x^{'}$ ve $x{'}$$\in$A$\Longrightarrow$x$\in$A olacaktır.

O halde $f^{-1}$[f[A]$\subseteq$A 'dır.

(1),(2) 'den A=$f^{-1}$[f[A]]

Amacımıza ulaştık.

Son halini bu kadar devam ettirebildim,

umarım doğrudur.

Teşekkürler.

---

Soruda $f$ fonksiyonu ile ilgili ekstra bir özellik verilmemiş. Dolayısıyla birebir olduğunu varsayamazsın.
 

Bir fonksiyonun sol tersinin olması için gerek ve yeter koşul fonksiyonun birebir olmasıdır. Bu teoremi ve kanıtını bu site içerisinde bulabilirsin.
 

Şimdi tekrar senin soruna dönecek olursak -az önce yazdığımız teorem gereğince- söz konusu eşitliğin sağlanması için fonksiyonun birebir olması gerekir. Soruda böyle bir bilgi verilmediği için fonksiyon birebir olabilir de olmayabilir de. O halde yukarıda yazdığımız teorem gereğince fonksiyon birebir olmadığında söz konusu eşitliğin olmadığı durumlar var. Dolayısıyla birebir olmayan bir fonksiyon ele alacaksın. Ve söz konusu eşitliğin sağlanamadığına dair bir karşı örnek vereceksin.

---

Anladığım kadarıyla "birebir olduğunu varsaymak" yerine,

Teorem: f,birebir$\iff$ ($\exists$g$\in$$X^Y$)(gof=$Ix$)....$(*)$

$(*)$ teoremi gereğince  $\Longleftarrow$ taraflı kanıtladığımızda f, fonksiyonunun birebir olduğunu ispatlayabiliriz.

---

Elinde böyle bir teorem olduğuna göre demekki senin sorunun yanıtı "hayır, yanlıştır" olmalı. O zaman AKSİNE bir örnek oluşturacaksın.

---

Tamamdır, soruya tekrar bakacağım.

Tüm cevaplarınız için çok teşekkür ederim hocam.