Question

$$\int\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx=?$$

Answer 1

$$\begin{array}{rcl} I & = & \int\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx \\ \\ & = & \int\frac{(e^x+x+1)x-xe^x}{(e^x+x+1)^2}dx  \\ \\ & = & \int(\frac{(e^x+x+1)x}{(e^x+x+1)^2} - \frac{xe^x}{(e^x+x+1)^2})dx \\ \\ & = & \int(\frac{x}{(e^x+x+1)} - \frac{xe^x}{(e^x+x+1)^2})dx\end{array}$$ Bu satırdan sonra integralin içindeki bu iki terimin paydalarını $e^x$ parantezine alıp düzenleyelim.
$$\begin{array}{rcl} I & = & \int\frac{xe^{-x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})} - \frac{xe^{x}e^{-2x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})^2}dx \\ \\ & = & \int\frac{xe^{-x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})} - \frac{xe^{-x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})^2}dx \\ \\ & = & \int xe^x(\frac{1}{(1+xe^{-x}+e^{-x})} - \frac{1}{(1+xe^{-x}+e^{-x})^2})dx\end{array}$$ Şimdi değişken değiştirme metodunu kullanarak $$u=1+xe^{-x}+e^{-x}$$ dersek $$du=(e^{-x}-xe^{-x}-e^{-x})dx$$ yani $$-du=xe^{-x}dx$$ olacaktır. Buradan da
$$\begin{array}{rcl} I & = & \int-(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2})du \\ \\ & = & -\int(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2})du \\ \\  & = & -(\ln{|u|}-(\frac{-1}{u}))+C \\ \\ & = & -\ln{|u|}-\frac{1}{u}+C\end{array}$$ elde edilir.
$$u=1+xe^{-x}+e^{-x}$$ yazarsak
$$I=-\ln{|1+xe^{-x}+e^{-x}|}-\frac{1}{1+xe^{-x}+e^{-x}}+C$$ aradığımız integrali bulmuş oluruz.