Tensör çarpım ve $Hom$ işlemleri toplamsaldır

Question

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun sekizincisi. Önceki sorular için yorum kısmına bakın.

$\{A_i\}_{i\in I}$ bir $G$-modüller ailesi olsun. $X$ de herhangi bir $G$-modül olsun. Aşağıdaki eşyapısallıkların doğruluğunu ispatlayın.

$$X\otimes(\oplus_{i\in I}A_i)\simeq\oplus_{i\in I}(X\otimes A_i)$$ $$Hom_G(\oplus_{i\in I},X)\simeq \prod_{i\in I}Hom_G(A_i,X)$$ $$Hom_G(X,\prod_{i\in I}A_i)\simeq\prod_{,\in I}Hom_G(X,A_i)$$ $X$'in sonlu üreteçli değişmeli bir grup olduğu ek hipoteziyle aşağıdaki eşyapısallıkları ispatlayın:  $$X\otimes (\prod_{i\in I}A_i)\simeq \prod_{i\in I}(X\otimes A_i)$$ $$Hom_G(X,\oplus_{i\in I}A_i)\simeq\oplus_{i\in I}Hom_G(X,A_i)$$

Comments

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun sekizincisi. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

---

Ne kadar dogru bir soru oldugundan emin degilim bunun ama... Bu esyapisalliklar grup esyapisalliklari mi yoksa $G$-modul esyapisalliklari mi? Ya da farkeder mi? Iki $G$-modul arasinda, $G$-modul homomorfizmasi olmayan bir grup izomorfizmasi bulabilir miyim? Bana bulunabilir gibi geliyor/

---

İkii $G$-modül arasında elbette $G$-modül morfizması olmayan ama grup morfizması olan eşyapısallık olabilir. Ama bu durumda sorulmak istenen modül olarak eşyapısal oldukları.