$\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{A}$ tensör çarpımının $\mathbb{Q}$ üzerinde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz.

Question

A'nın toplamsal abelyen grup olduğu verilmiş. Vektör uzayı olduğunu göstermek için $\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{A}$ üzerinde + ve etki işlemleri tanımlı olmalı. + işlemini sezgisel olarak

$+: \mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{A} \times \mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{A} \to \mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{A}$

$((q_1 \otimes a_1) , (q_2 \otimes a_2)) \mapsto (q_1 \otimes a_1) + (q_2 \otimes a_2) = (q_1 +_Q q_2) \otimes (a_1 +_A a_2)$

şeklinde tanımladığımda aksiyomlar sağlanarak vektör uzayı olduğu gösterilebiliyor. Ancak bu + işlemindeki eşitliği yalnızca sezgisel olarak bu şekilde yazabiliyorum. Bu eşitliğin doğru olduğunu göstermek için sanırım tensör çarpım özelliklerinden yararlanılması gerekiyor fakat problem şu ki yalnızca $q_1 = q_2$ ve $a_1 = a_2$ olduğu durumlarda tensör çarpım özelliğinden bu eşitlik doğru olabiliyor. Bu eşitliği gösterebilmem veya farklı bir işlem tanımlamam gerekiyor. Yardım edebilecek varsa çok mutlu olurum...

Answer 1

En genel hâl:

$A$ ve $B$ değişmeli halkalar olsun (birim elemanlı: çarpımsal)

$f:A\to B$ bir halka homomorfizması olsun.

$M$ bir $A-$modül olsun. $f$ fonksiyonundan dolayı $B$ de bir $A-$modül olur.(Neden, $B$ zaten bir halka oldugu için toplamsal bir grup zaten, $A$ halkasının etkisi de $f$ üzerinden şöyle geliyor: $a\cdot b=\underbrace{f(a)b}_{\in B}$ olarak geliyor)

Yani elde var 2 tane $A-$Modül, $B$ ve $M$. Bunları $A$ üzerinden tensörlersek:

$$B\otimes_A M$$ bu zaten otomatikmen bir $A-$ modül. Iddiamız o ki, bu aynı zamanda bir $B-$ Modüldür.

$B$ halka etkisini şöyle tanımlayalım:

$$B\times (B\otimes_A M) \to B\otimes_A M$$
$$(b,b'\otimes m)\mapsto (bb')\otimes m$$

Bu etki altında $B\otimes_A M$ bir $B-$Modül olur.

Şimdi sorudakileri yerlerine koyarsak: Öncelikle her halka bir $\mathbb Z$ modüldür. Çünkü $\mathbb Z$ halkalar kategorisinde ilk/initial objedir (verilen herhangi bir $R$ halkası al, $f:\mathbb Z\to R$ fonksiyonunu $f(1_{\mathbb Z})=1_R$ olarak tanımlarsan biricik bir fonksiyon oldugunu gosterebılırsın). Yani verilen her $R$ halkası için : her zaman bir ve sadece bir tane $\mathbb Z\to R$ halka homomorfizması vardır.

Yani $f:\mathbb Z\to \mathbb Q$ vardır. Ayrıca $\mathbb Z$- Modüller ile Abelyen gruplar aynı "şeylerdir/objelerdir". Dolayısıyla soru sahibinin söyledigi $\mathbb A$ da bir $\mathbb Z$-Modüldür. Dolayısıyla $\mathbb Q\otimes_{\mathbb Z} \mathbb A$ bir $\mathbb Q$-Modüldür ($\mathbb Q$ bir halka olmasının üstünde bir cisim/field olduğu için, cisim üzerine modüller özel olarak vektor uzayı diye isimlendirildigi için) bir $\mathbb Q$ üzerine vektör uzayıdır.

Not: Görüldüğü üzere sadece tensör çarpımının oldugunu kullandık ve ilk/initial objeleri kullandık, yani elimizi pek kirletmedik.

Direkt olarak senin sorun için: $(q_1 \otimes a_1) + (q_2 \otimes a_2) = (q_1 +_Q q_2) \otimes (a_1 +_A a_2)$ neden böyle olmak zorunda olsun ki? Tensörler sadece "basit" tensör parçalarından oluşmuyor. Ama bu basit tensor parçalarının herhangi lineer kombinasyonundan oluşuyor. Mesela $\mathbb Q\otimes \mathbb R$ vektör uzayında sadece $a\otimes b$ tipinde elemanlar olmak zorunda degil: $2\otimes \pi-1\otimes \sqrt2+1\otimes 1$ gibi elemanlar da var.

Comments

Cevap için çok teşekkürler:) Bu şekilde bir gösterim düşünmemiştim, doğrudan aksiyomlara bağlı kalmak zorunda hissettim kendimi. Yine de bu işlemin doğru olup olmayacağı aklıma takılıyor. Haklısınız tek eleman tipi bu değil fakat bu tipteki elemanlarla böyle bir işlem tanımı doğru olur mu?

---

senin yaptıgın gibi mi? anlamadım tam olarak hocam

---

Tensör çarpım üzerinde zaten bir toplama var, senin yeniden kendi başına bir toplama işlemi tanımlaman istenmiyor ki. Zaten var olan toplama işleminin vektör uzayı aksiyomlarını sağladığını göstermen isteniyor.

---

evet evet benim tanımladığım işlemi kastediyorum

---

vektör uzayı olduğunu göstermek için modül olduğunu göstermenin yeterli olduğunu düşünerek ispat yapmaya çalıştım (cebir üzerinde tanımlı modül vektör uzayı olduğu için). Bu yüzden de bir etki işlemi ve de toplamaya ihtiyacımız var fakat tensör çarpımın + işlemi +: QxA x QxA->QxA şeklinde tanımlı değil ki modül olduğunu göstermek için +: MxM->M işlemine ihtiyacımız olduğundan bu işlemi tanımlamaya çalıştım. Çok mu yanlış bir yol izlemişim acaba anlamakta zorlanıyorum:(