Question

$a\neq 0$ olmak üzere $ax^3+bx^2+cx+d=0$ denkleminin en az bir tane gerçel kökünün var olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Eşlenik kök teoreminden hemen söyleyebiliriz. Teorem gerçel katsayılı bir polinomun sanal köklerinin eşlenik olduğunu söyler. Kübik polinomların üç tane kökü olacağından, bu teoremden dolayı en çok iki tane sanal kökü olabilir. Dolayısıyla üçüncü kök gerçel olmak zorundadır.

Answer 2

Yanıt için şunu da söyleyebiliriz: $a>0$ olduğunu varsayalım. Benzer düşünceyi $a<0$ için de yapabiliriz.

$$\lim\limits_{x\to -\infty} (ax^3+bx^2+cx+d)=-\infty,$$ $$\lim\limits_{x\to \infty} (ax^3+bx^2+cx+d)=\infty$$  ve $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu sürekli olduğundan bu fonksiyonun grafiği $-\infty$'den $\infty$'a giderken mutlaka $x$-eksenini kesecektir. $f$ fonksiyonunun bu sıfırı söz konusu kübik denklemin kökü olacaktır.