Question

$a\neq 0$ olmak üzere $ax^3+bx^2+cx+d=0$ denkleminin gerçel kökünü bulunuz.

Answer 1

$$ax^3+bx^2+cx+d=0\ldots (1)$$ denkleminde $$x=y-\frac{b}{3a}\ldots (2)$$ dönüşümü yapılırsa (neden?) $$y^3+\underset{p}{\underbrace{\frac{3ac-b^2}{3a^2}}}y+\underset{q}{\underbrace{\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}}}=0\ldots (3)$$ denklemi elde edilir.

$$p:=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$$ ve $$q:=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$$ dersek $(3)$ denklemi $$y^3+py+q=0\ldots (4)$$ denklemine dönüşür. $(4)$ denkleminde $$y=z-\frac{p}{3z}$$ dönüşümü yapılırsa (neden?) $$z^3-\frac{p^3}{27z^3}+q=0$$ yani $$27z^6+27qz^3-p^3=0\ldots (5)$$ denklemi elde edilir. $(5)$ nolu denklemde de $$z^3=t$$ dönüşümü yapılırsa $$27t^2+27qt-p^3=0\ldots (6)$$ denklemi elde edilir. Buradan da $$t=\frac{-27q\mp \sqrt{27^2q^2-4\cdot 27\cdot (-p^3)}}{2\cdot 27}=\frac{-27q\mp \sqrt{27^2q^2+108 p^3}}{54}$$ yani $$z^3=\frac{-27q\mp \sqrt{27^2q^2+108 p^3}}{54}$$ yani $$z=\sqrt[3]{\frac{-27q\mp \sqrt{27^2q^2+108 p^3}}{54}}$$ yani $$y=\sqrt[3]{\frac{-27q\mp \sqrt{27^2q^2+108 p^3}}{54}}-\frac{p}{3\sqrt[3]{\frac{-27q\mp \sqrt{27^2q^2+108 p^3}}{54}}}$$ yani $$x=\sqrt[3]{\frac{-27q\mp \sqrt{27^2q^2+108 p^3}}{54}}-\frac{p}{3\sqrt[3]{\frac{-27q\mp \sqrt{27^2q^2+108 p^3}}{54}}}-\frac{b}{3a}$$ bulunur. Bu iki kökten (!) bir tanesi $(1)$ nolu denklemin kökü olmayacaktır. Acaba hangisi?

Comments

İlgili soru denklemin reel kökünü tartışıyor.

---

$y^3+py+q=0$

$$z=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$   $$y=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{p}{3\sqrt[3]{\frac{-q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$$    $$x=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{p}{3\sqrt[3]{\frac{-q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}-\frac{b}{3a}$$ gösterimi daha estetik geldi bana.

---

Evet Alper hocam. Sizin de yazdığınız gibi daha sade bir halde yazılabiliyor.