Question

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi ve $\tau=\{A\subseteq \mathbb{R}:|\setminus A|\leq \aleph_0\}\cup \{\emptyset\}$ olmak üzere $(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayında bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşulun dizinin sonunda sabit olmasıdır. Gösteriniz.

Answer 1

Öncelikle sonunda sabit dizi tanımını hatırlayalım.

Tanım: $X\neq\emptyset$ küme ve $(x_n)_n\in X^{\mathbb{N}}$ olsun.

$(x_n)_n, \text{ sonunda sabit}:\Leftrightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n=x_K)$

 

Şimdi kanıta geçebiliriz.

Kanıt: $(\Rightarrow):$ $(x_n)_n\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$  yakınsak olsun.

$\left.\begin{array}{rr}(x_n)_n, \text{ yakınsak}\Rightarrow (\exists a\in \mathbb{R})(x_n\to a) \\ \\ (x_n)_n\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\Rightarrow |\{x_n|x_n\neq a\}|\leq \aleph_0\Rightarrow \mathbb{R}\setminus \{x_n|x_n\neq a\}\in\mathcal{U}(a)\end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n\in\mathbb{R}\setminus \{x_n|x_n\neq a\})$

 

$\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n\notin \{x_n|x_n\neq a\})$

 

$\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n=a).$

 

$(\Leftarrow):$ $(x_n)_n,$ sonunda sabit olsun.

$\left.\begin{array}{rr} (x_n)_n, \text{ sonunda sabit} \Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n=x_K) \\ \\ U\in\mathcal{U}(x_K) \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n\in U).$