Şu eşitsizliği de inceleyebilirsin: |x_n-a|<\epsilon/2 ve |x_m-a|<\epsilon/2 ise |x_m-x_n|\le |x_m-a|+|a-x_n|<\epsilon olur. Senin cevabında: Çelişki yöntemi ile gittiğin belli olmuyor, gidiyor musun o da belli olmuyor. Yazıma söz eklenmediğinden olsa gerek. İyi yazılırsa (anlaşılır) cevap niteliği taşır.
A kümesindeki özel a sayısı nedir (Tahmin etmek güç değil ama bir sonraki soru için önemli)? O özel sayının A kümesinde olduğunu nereden biliyoruz? Öneri (a sayısının ne olduğunu belirttikten sonra): a\in A (bu durumda senin çözümün geçerli) ve a\notin A durumlarını ayrı ayrı inceleyebilirsin. Ya da (durumlara ayırmadan) her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu kullanabilirsin. (EK: Bu, Sercan ın önerisi ile aynı şey oluyor)
@GEO,
"a,\ x_n in yakınsadığı sayıdır. Her n\in\mathbb{N} için x_n \in A olduğundan a\in A değil midir?"
Evet doğru, ama, bunu göstermek için sorudaki iddiayı ispatlamak gerekli ya da sorudan daha ileri düzeyde Analiz ("Terimleri kapalı bir kümeye ait olan yakınsak dizilerin limiti de o kümeye ait olur" ve "(\mathbb{R} de) Sonlu kümeler kapalıdır." gibi bazı teoremleri) kullanmak gerekli .
EK: Ben (daha basit) bir yol (B=A\cup\{a\} al) da önerdim.