$\iint_\limits{1 \leq x^2 + y^2<R^2} \dfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x^4 + x^2y^2 + y^4} dx dy$ integralinin $R \to \infty$ için limiti

Question

$\color{red}{\text{Problem[Lokman GÖKÇE]:}}$ $R>1$ olmak üzere $\displaystyle{ f(R) =  \iint_\limits{1 \leq x^2 + y^2<R^2} \dfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x^4 + x^2y^2 + y^4} dx dy }$ olarak tanımlanıyor. Buna göre

$$\displaystyle{\lim_{R\to \infty} f(R)}$$

ifadesinin değeri nedir?

 

$\color{blue}{\text{Not:}}$  Bu soruyla ilgili olarak sunmuş olayım. Limit için sayısal bir değer hesapladım. Karşılaştırma amacıyla istenirse bu değeri de ekleyebilirim.

Answer 1

$\color{red}{\textbf{Çözüm:}}$ $x=r\cos(\theta)$, $y=r\sin(\theta)$ kutupsal dönüşümü yapılırsa $1\leq x^2 + y^2 <R^2$ halkası $0\leq \theta < 2\pi$ ve $1\leq r < R$ ile sınırlı dikdörtgensel bölgesine dönüşür. $x^2 + y^2 = r^2$ dir. Ayrıca, kutupsal dönüşümün Jacobian determinantı $|J|=r$ olduğundan $dxdy = |J|dr d\theta = rdr d\theta$ yazılır. $x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - x^2y^2 = r^4 - r^4\cos^2(\theta)\sin^2(\theta)$ yazılır. Buna göre,

$\displaystyle{f(R) = \int_\limits{0}^{2\pi} \int_\limits{1}^{R}\dfrac{r^2 dr d\theta}{ r^4(1 - \cos^2(\theta)\sin^2(\theta))} } \tag{1}$

olur. $\displaystyle{I_1 = \int_\limits{1}^{R} \dfrac{dr}{r^2} = \left[ -\dfrac{1}{r} \right]_{1}^{R} = 1 - \dfrac{1}{R}}$ dir. $\displaystyle{ \lim_{R\to \infty} = \left[ 1 - \dfrac{1}{R} \right]= 1}$ olduğunu not edelim. Şimdi $(1)$ integralinin $\theta$ değişkeni ile ilgili olan kısmına yönelebiliriz.

$\displaystyle{ I_2 = \int_\limits{0}^{2\pi} \dfrac{d\theta}{1 - \cos^2(\theta)\sin^2(\theta)}  = \int_\limits{0}^{2\pi} \dfrac{4d\theta}{4 - \sin^2(2\theta)} = \int_\limits{0}^{2\pi} \dfrac{8d\theta}{7 + \cos(4\theta)} =  \int_\limits{0}^{8\pi} \dfrac{2d\theta}{7 + \cos(\theta)} = \int_\limits{0}^{\pi} \dfrac{16d\theta}{7 + \cos(\theta)}  }$ olur. Burada da Weiestrass dönüşümü olarak da bilinen $\tan(\theta/2) = t$ dönşümü yapılırsa, $\cos(\theta) = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ve $d\theta = \dfrac{2dt}{1+t^2}$ olup

$\displaystyle{ I_2 =  \int_\limits{0}^{\pi} \dfrac{16d\theta}{7 + \cos(\theta)} = 32 \int_\limits{0}^{\infty} \dfrac{\dfrac{2dt}{1+t^2}}{7 + \dfrac{1-t^2}{1+t^2} } = 16\int_\limits{0}^{\infty}\dfrac{dt}{3t^2 + 4} = 16\cdot \dfrac{\sqrt{3}\pi}{12}= \dfrac{4\sqrt{3}\pi}{3} }$ olur.

 

İstenen limit değeri, $I_1\cdot I_2 = 1 \cdot  \dfrac{4\sqrt{3}\pi}{3} =  \dfrac{4\sqrt{3}\pi}{3}$ olarak bulunur.