Her $n \in \mathbb{N}$ icin oyle $n$ tane sayi vardir ki, ortalamalari ile xor toplamlari esittir

Question

Her $n \in \mathbb{N}$ icin oyle bir $\{a_i \in \mathbb{N} \}_{i=1}^n$ vardir ki $\sum_{i=1}^{n}\frac { a_i}n = \bigoplus_{i=1}^{n} a_i$

burada $\bigoplus$ ile bitwise xor islemini kastediyoruz

 

Ornek: $( 13 + 2 + 8 + 1 )/4  = 6 = 13 \oplus 2 \oplus 8 \oplus 1$

 

Bu ifade hep dogru mudur ?

Comments

Bu XOR işlemini nasıl yapıyoruz?

---

$x\text{XOR} y=x\oplus y=\displaystyle\sum_{n=0}^{\lfloor \log_2(x)\rfloor} 2^n\left[\left(\left\lfloor\frac{x}{2^n}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{y}{2^n}\right\rfloor\right)\text{mod} 2\right].$

---

iki sayiyi ikili sistemde yazip, eldesiz toplayip, elimize gecen bit dizisini dogal sayiya cevirince xor toplami yapmis oluyoruz

---

Hiç bana xor'dun mu, aşkımıza ağlarken?

---

sabahtan beri soyluyorum, toplantida mikrofonum acik kalmis garip garip baktilar uzucuydu

---

$\mathbb N$ içinde $0$ var mı :p

---

zaten kolay o zaman daha da kolay olurdu :D

---

sorunun cevabinin yarisi sorunun icinde gizli

---

Toplamdaki indisleri (0 yerine) 1 den başlattım.

Answer 1

Daha kolay yolu var mıdır bilmiyorum ama aklıma ilk gelen bu ve çok da zor gibi gelmedi.

$\underline {n \text { tek ise:}}$
hepsini eşit seçmek yeteri.

$\underline {n \text { çift ise}:}$
$n-2$ tanesini $3(n-1)$ ve
Kalan $2$ tanesini $3(n-2)$'nin herhangi bir $1$lerini ayırarak yazacağımız sayılar
(n=6 ise 3(n-2)=12, bu iki sayıyı 4 ve 8 olarak seçebiliriz)
olarak seçmek yeterli.

Düşüncesel kısmı:
$n-2$ tanesi eşit ve kalan iki sayı birbirinin bit olarak bir sayının eşleniği gibi bir şey olsun dedim.
Buradan $(n-2)a+t=nt$ yani $(n-2)a=(n-1)t$ gelecek. 
$t=3(n-2)$ seçmemin sebebi $n=2^k+2$ olursa $n-2$'yi iki sıfır olmayan sayı olarak ayıramayız.

Comments

$a_i$ lerin farkli olmasini istesem :D ?

---

bunun varligindan emin degilim ama dogru oldugundan supheleniyorum

 

su cok ise yariyor bu arada
$a + b = a \oplus b + 2 (a \land b)$

(burada $land$ ile bitwise and kastediyoruz)

---

Yani yapabiliriz.
$2^\ell(1+2+\cdots+2^{n-2})+a+(a+k)$ gibi bir toplam ile çıkar gibi ama şu an bakmıcam.